Question

Решите уравнение: 4 sin x + cos x = 4

Answer 1

Уравнения такого вида легко решаются с помощью введения дополнительного аргумента:
4sinx+cosx=4
√17(4/√17·sinx+1/√17·cosx)=4
α=arcsin(1/√17)
√17sin(x+α)=4
sin(x+α)=4/√17
x+α=(-1)^n·arcsin4/√17+πn
x=(-1)^n·arcsin4/√17+πn-arcsin(1/√17)

Answer 2

Давайте решим уравнение:

\[4 \sin(x) + \cos(x) = 4\]

Для начала, преобразуем его, чтобы объединить тригонометрические функции. Умножим обе стороны на \(\sqrt{17}\) (чтобы избавиться от коэффициента при косинусе):

\[4 \sqrt{17} \sin(x) + \sqrt{17} \cos(x) = 4 \sqrt{17}\]

Теперь представим правую сторону уравнения в виде произведения суммы квадратов синуса и косинуса:

\[\sqrt{17} \cdot (4 \sin(x) + \cos(x)) = 4 \sqrt{17}\]

\[\sqrt{17} \cdot (\sqrt{17} \sin(x) + \cos(x))^2 = 4 \sqrt{17}\]

Теперь у нас есть квадрат суммы синуса и косинуса:

\[(\sqrt{17} \sin(x) + \cos(x))^2 = \frac{4 \sqrt{17}}{\sqrt{17}}\]

\[(\sqrt{17} \sin(x) + \cos(x))^2 = 4\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[\sqrt{(\sqrt{17} \sin(x) + \cos(x))^2} = \sqrt{4}\]

\[\sqrt{17} \sin(x) + \cos(x) = \pm 2\]

Теперь выразим \(\sin(x)\) через \(\cos(x)\) с использованием тригонометрического тождества \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\):

\[\sin(x) = \frac{1}{\sqrt{17}}(\pm 2 - \cos(x))\]

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

\[4 \left(\frac{1}{\sqrt{17}}(\pm 2 - \cos(x))\right) + \cos(x) = 4\]

\[ \frac{8}{\sqrt{17}} \pm 8 - 4 \cos(x) + \cos(x) = 4\]

\[\frac{8}{\sqrt{17}} \pm 7 = 4\cos(x)\]

Теперь разделим обе стороны на 4:

\[\frac{2}{\sqrt{17}} \pm \frac{7}{4} = \cos(x)\]

Таким образом, у нас есть два возможных решения:

\[ x = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{17}} + \frac{7}{4}\right) \]

или

\[ x = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{17}} - \frac{7}{4}\right) \]

Обратите внимание, что знаки "плюс" и "минус" влияют на конечные значения угла \(x\).