Question

докажите что при любых значениях m верно неравенство m(1+5m)≥ m² +5m-1

Answer 1

$m+5m^2-m^2-5m+1=4m^2-4m+1=(2m-1)^2 \geq 0$

Answer 2

M( 1 + 5m ) > = m^2 + 5m - 1
m + 5m^2 > = m^2 + 5m - 1
5m^2 - m^2 + m - 5m + 1 > = 0
4m^2 - 4m + 1 >= 0
( 2m - 1 )^2 > = 0
Квадрат любого числа всегда больше ( или равно ) нулю

Answer 3

Дано неравенство: m(1 + 5m) ≥ m² + 5m - 1

Начнем с раскрытия скобок:

m + 5m² ≥ m² + 5m - 1

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы иметь м² в левой части:

5m² - m² + 5m - m - 1 ≥ 0

4m² + 4m - 1 ≥ 0

Теперь решим квадратное неравенство. Для этого найдем его корни, используя формулу дискриминанта:

D = (4)^2 - 4(4)(-1) = 16 + 16 = 32

Так как дискриминант положительный, у нас есть два разных действительных корня.

m₁ = (-4 + √32) / (2 * 4) = (-4 + 4√2) / 8 = (-1 + √2) / 2 m₂ = (-4 - √32) / (2 * 4) = (-4 - 4√2) / 8 = (-1 - √2) / 2

Заметим, что для любых значений m неравенство будет выполняться в двух случаях:

1) Если m ≤ (-1 - √2) / 2 В этом случае обе стороны неравенства отрицательны, так как m < 0, значит неравенство выполняется.

2) Если m ≥ (-1 + √2) / 2 В этом случае обе стороны неравенства положительны, так как m > 0, значит неравенство также выполняется.

Таким образом, мы доказали, что при любых значениях m неравенство m(1 + 5m) ≥ m² + 5m - 1 верно.