Question

Тригонометрические 2cos'2x-5sin x+1=0

Answer 1

2-2sin²x-5sinx+1=0
sinx=a
2a²+5a-3=0
D=25+24=49
a1=(-5-7)/4=-3⇒sinx=-3<-1 нет решения
a2=(-5+7)/4=1/2⇒sinx=1/2⇒x=(-1)^n*π6+πn,n∈z

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения можно использовать различные методы. Одним из них является метод замены переменной. Когда мы принимаем новую переменную, мы можем преобразовать уравнение в более удобную форму для решения.

Заметим, что данное уравнение содержит сразу две тригонометрические функции - косинус и синус. Мы можем заменить одну из этих функций другой, чтобы получить уравнение только с одной тригонометрической функцией.

Допустим, мы заменим синус на косинус по формуле приведения: sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)). Подставим это в исходное уравнение и упростим его: 2cos^2(x) - 5sqrt(1 - cos^2(x)) + 1 = 0.

Теперь заметим, что у нас получилось уравнение только с косинусом, а это значит, что мы можем воспользоваться обычными методами решения квадратного уравнения.

Обозначим cos(x) = t, тогда полученное уравнение можно переписать в виде: 2t^2 - 5sqrt(1 - t^2) + 1 = 0.

Теперь это квадратное уравнение относительно переменной t. Мы можем решить его, применив обычную формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

t = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a),

где a = 2, b = -5, c = 1.

Подставим значения и решим полученное квадратное уравнение: t = (-(-5) ± sqrt((-5)^2 - 4·2·1))/(2·2) = t = (5 ± sqrt(25 - 8))/(4) = t = (5 ± sqrt(17))/4.

Теперь, чтобы найти значение исходной переменной x, мы можем воспользоваться обратными тригонометрическими функциями. В данном случае, так как мы заменили синус на косинус, нам нужно использовать арккосинус.

Ответ будет: x = arccos( (5 + sqrt(17))/4 ) + 2πn, где n - целое число, или x = arccos( (5 - sqrt(17))/4 ) + 2πn, где n - целое число.