Question

Найдите точку минимума функции y=x√x - 3x + 28

Answer 1

Область определения x>=0
y = x^(3/2) -3x +28
y'= 3/2 * x^(1/2) -3 = 3(0,5 корень(x)-1)
y' = 0
0,5 корень(x) -1 =0
корень(x) = 1/0.5
корень(x)=2
x = 2^2
x = 4 
y(4) = 4*корень(4) -3*4+28 = 4*2 -12+28 = 8+16 = 24
точка min (4;24)

Answer 2

Чтобы найти точку минимума функции \(y = x\sqrt{x} - 3x + 28\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции \(y\) по переменной \(x\). \[y' = \frac{d}{dx}(x\sqrt{x} - 3x + 28)\]

Производная первого слагаемого (\(x\sqrt{x}\)) требует применения правила производной произведения, а производные второго и третьего слагаемых просто равны 1 и -3 соответственно.

\[y' = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \cdot 3x - 3\]

Упростим выражение:

\[y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 3\]

2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение: \[\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0\]

Решив это уравнение, получим:

\[\sqrt{x} = 2\]

Возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[x = 4\]

3. Проверить, являются ли найденные критические точки точками минимума, максимума или седловыми точками. Для этого можно воспользоваться второй производной или тестом первой производной. В данном случае воспользуемся второй производной.

\[y'' = \frac{d}{dx}(\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3)\]

Вычислим вторую производную:

\[y'' = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{2}}\]

Подставим \(x = 4\) (найденная критическая точка) во вторую производную:

\[y''(4) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{3}{8} > 0\]

Так как вторая производная положительна, точка \(x = 4\) является точкой минимума.

4. Найдем значение функции в точке минимума. Подставим \(x = 4\) в исходную функцию:

\[y = 4\sqrt{4} - 3 \cdot 4 + 28\]

Вычислим:

\[y = 8 - 12 + 28 = 24\]

Таким образом, точка минимума функции \(y = x\sqrt{x} - 3x + 28\) находится в точке \((4, 24)\).