Question

Помогите решить2cos^2 x/2 - cos x/2 - 1=0

Answer 1

$2cos^2 \frac{x}{2}-cos \frac{x}{2}-1=0$

$cos \frac{x}{2}=t$

$2t^2-t-1=0$

$D=1+8=9; \sqrt{D}=3$

$t_{1/2}= \frac{1 \mp 3}{4}=- \frac{1}{2}; 1$

$cos \frac{x}{2}= 1$
$\frac{x}{2}=2\pi n$
$x=4\pi n; n\in Z$

$cos \frac{x}{2}=- \frac{1}{2}$
$x=4\pi n \pm \frac{4\pi}{3}$

Answer 2

Для решения данного уравнения необходимо представить его в квадратичной форме. Заметим, что в данном уравнении все члены содержат x/2, поэтому проведем замену переменных: пусть t = x/2. Тогда уравнение примет вид:

2cos^2(t) - cos(t) - 1 = 0.

Далее, воспользуемся тригонометрической формулой двойного угла для cos(2t):

cos(2t) = 2cos^2(t) - 1.

Теперь подставим эту формулу в исходное уравнение и получим:

cos(2t) - cos(t) - 1 = 0.

Данное уравнение стало более простым и его можно решить с помощью элементарной алгебры.

Приведем уравнение к квадратному виду:

cos(2t) - cos(t) - 1 = 0, 2cos^2(t) - 2cos(t) - 2 = 0.

Умножим обе части уравнения на 2:

4cos^2(t) - 4cos(t) - 4 = 0.

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = (-4)^2 - 4 * 4 * (-4) = 16 + 64 = 80.

Найдем корни уравнения:

cos(t) = (4 ± √80) / (2 * 4), cos(t) = (1 ± √5) / 2.

Теперь найдем значения t, для которых cos(t) = (1 ± √5) / 2:

t1 = arccos((1 + √5) / 2), t2 = arccos((1 - √5) / 2).

Вернемся к исходному уравнению и найдем значения x:

x1 = 2 * t1, x2 = 2 * t2.

Таким образом, решение исходного уравнения состоит из двух значений x1 и x2, найденных по формулам выше.