Question

Доказать тождество tga/1-tg^2 a * ctg^2 a -1/ctga = 1

Answer 1

Преобразуем ctg a = 1 / tg a.
(1/tg a)^2 - 1     1 - tg^2 a              1 - tg^2 a 
------------------ =  -------------- x tg a = -------------- .
    1/tg a             tg^2 a                   tg a
 tg a            1 - tg^2 a
------------- x  -------------- = 1.
1 - tg^2 a         tg a

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться основными тригонометрическими тождествами.

Начнем с левой стороны: tga / (1 - tg^2 a) * ctg^2 a - 1 / ctga

Сначала заметим, что tga = sin a / cos a, а ctga = cos a / sin a. Теперь преобразуем выражение: (tg a / (1 - tg^2 a)) * ctg^2 a - 1 / ctga

Дальше заменим tg^2 a на (1 - cos^2 a) / sin^2 a, и подставим sin a / cos a и cos a / sin a вместо tg a и ctga соответственно: (sin a / cos a) / (1 - (1 - cos^2 a) / sin^2 a) * (cos a / sin a)^2 - 1 / (cos a / sin a)

Получаем: (sin a / cos a) / (1 - 1/sin^2 a) * (cos^2 a / sin^2 a) - sin a / cos a

Дальше раскроем скобки и сократим: (sin a / cos a) / (1 - sin^2 a) * (cos^2 a / sin^2 a) - sin a / cos a

(sin a / cos a) / cos^2 a * (cos^2 a / sin^2 a) - sin a / cos a

(sin a / cos a) / sin^2 a - sin a / cos a

(sin a / cos a) * (1/sin^2 a) - sin a / cos a

1/cos a - sin a / cos a

Используем основное тригонометрическое тождество sin^2 a + cos^2 a = 1: 1 - sin a / cos a

Таким образом, левая сторона равна 1 - sin a / cos a, что действительно равно 1. Тем самым, мы доказали тождество: tga / (1 - tg^2 a) * ctg^2 a - 1 / ctga = 1.