Question

На какое наибольшее число можно сократить дробь \frac{6n+17}{9n+33},n\in N

Answer 1

 По алгоритму Евклида  
$9n+33 \equiv 3n+16 \ \ \ mod \ 6n+17 \\ 6n+17 \equiv 3n+1 \ mod \ 3n+16 \\ 3n+16 \equiv 3;1;5;2;15 \ \ mod \ 3n+1$
Теперь надо определить при каких вида остатка , остаток при делений 
одного из чисел $3;1;5;2;15$  
$3n+1 \equiv 0 \ mod (x) \\ x=1;3;5;2;15$
Очевидно при $x=5\\ 3*3+1 \equiv 0 \ mod \ 5$ 
 то есть ответ $5$                                                  
 

Answer 2

Для того чтобы сократить дробь \(\frac{6n+17}{9n+33}\), нужно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя.

Раскладываем числитель и знаменатель на простые множители:

Числитель: \(6n+17\)

Знаменатель: \(9n+33\)

Теперь факторизуем числитель и знаменатель:

Числитель: \(6n+17 = 1 \cdot (6n+17)\)

Знаменатель: \(9n+33 = 3 \cdot (3n+11)\)

Обратим внимание, что в числителе и знаменателе нет общих простых множителей, кроме единицы. Значит, дробь \(\frac{6n+17}{9n+33}\) не может быть сокращена на какое-либо число, кроме единицы.

Таким образом, наибольшее число, на которое можно сократить данную дробь, это 1.