Question

Найдите сумму четырех первых членов геометрической прогрессии, если разность третьего и второго её членов равна 6, а разность четвертого и второго члена равна 30.СРОЧНО.

Answer 1

Запишем условие формулами:

$b_3-b_2= 6 \\ \\ b_4-b_2 = 30 \\ \\ \\ b_1q^2-b_1q = 6 \\ \\ b_1q^3-b_1q= 30 \\ \\ \\ b_1q(q-1)= 6 \\ \\ b_1q(q^2-1) = 30 \\ \\ \\ \frac{b_1q(q^2-1)}{b_1q(q-1)} = \frac{30}{6} \\ \\ \frac{q^2-1}{q-1} = 5 \\ \\ \frac{(q-1)(q+1)}{q-1} =5 \\ \\ q+1=5 \\ \\ q=4 \\ \\ \\ b_1*4(4-1) = 6 \\ \\ b_1*12= 6 \\ \\ b_1= \frac{1}{2} \\ \\ \\ S_n= \frac{b_1(1-q^n}{1-q)} \\ \\ S_4= \frac{ \frac{1}{2} (1-4^4)}{1-4} = \frac{1}{2} \frac{1-256}{3} = \frac{85}{2}=42,5$

Ответ: 42,5

Answer 2

Для решения этой задачи нам нужно найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии. Перед тем, как приступить к решению, давайте определим, что такое геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия (ГП) - это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на фиксированное число, которое называется знаменателем геометрической прогрессии. Обозначим этот знаменатель как q.

Итак, у нас есть следующая информация о геометрической прогрессии: 1. Разность между третьим и вторым членами равна 6. 2. Разность между четвертым и вторым членами равна 30.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем знаменатель геометрической прогрессии (q)

Пусть второй член геометрической прогрессии будет обозначаться как a, тогда третий член будет равен a*q, а четвертый член - a*q*q.

Мы знаем, что разность между третьим и вторым членами равна 6: a*q - a = 6 (уравнение 1)

Также, разность между четвертым и вторым членами равна 30: a*q*q - a = 30 (уравнение 2)

Для решения этой системы уравнений, мы можем разделить уравнение 2 на уравнение 1: (a*q*q - a)/(a*q - a) = 30/6 q + 1 = 5 q = 4

Таким образом, знаменатель геометрической прогрессии (q) равен 4.

Шаг 2: Найдем первый член геометрической прогрессии (a)

Теперь, когда мы знаем знаменатель геометрической прогрессии (q), мы можем использовать одно из уравнений, чтобы найти первый член (a).

Для этого мы можем использовать уравнение 1: a*q - a = 6

Подставим значение q = 4: 4a - a = 6 3a = 6 a = 2

Таким образом, первый член геометрической прогрессии (a) равен 2.

Шаг 3: Найдем сумму первых четырех членов геометрической прогрессии

Теперь, когда у нас есть значение первого члена (a) и знаменателя (q), мы можем найти сумму первых четырех членов геометрической прогрессии.

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии: S = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Для нашей задачи, n = 4, a = 2 и q = 4: S = 2 * (1 - 4^4) / (1 - 4)

Вычислим это: S = 2 * (1 - 256) / (1 - 4) S = 2 * (-255) / (-3) S = 510 / 3 S = 170

Таким образом, сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 170.

Итак, ответ на ваш вопрос: сумма первых четырех членов геометрической прогрессии равна 170.