Question

Напишите, пожалуйста, полное решение уравнения 4 * 16^sin^2x - 6 * 4^cos2x = 29 и найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку [3п/2; 3п] С пояснением, если можно)

Answer 1

Решить  уравнения 4 * 16^sin^2x - 6 * 4^cos2x = 29 
и найти все корни уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π] 
-------------------------------------------
4* (4² ^sin²x) -6*4^cos2x  = 29⇔ 4* 4 ^(2sin²x) -6*4^cos2x  = 29 ⇔
4* 4 ^ (1 -cos2x) -6*4^cos2x  = 29  ⇔4* 4¹*4^( -cos2x) - 6*4^cos2x  = 29 ⇔
4* 4 *  1 / ( 4^cos2x) - 6*4^cos2x  = 29  ;   * * * можно замена :t =4^cos2x * * *
6* (4^ cos2x)² +29* (4^ cos2x)  -16 =0 ;
* * * (4^ cos2x)² +(29/6)* (4^ cos2x)-8/3=0  * * * 
a) 4^cos2x = -16 /3   <  0  не имеет решения  ; 
b) 4^cos2x = 1/2  ⇔2 ^(2cos2x) = 2⁻¹ ⇔2cos2x = -1 ⇔  cos2x  = -1/2 . 
⇔2x  = ±π/3 +2πn ,n ∈Z  ;
x  = ±π/6 +πn ,n ∈Z .
* * * * * * *
Выделяем  все корни уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π] .
----
3π/2  ≤ - π/6 +πn ≤  3π ⇔ 3π/2+π/6 ≤ πn ≤  3π+π/6 ⇔ 5/3  ≤ n ≤  19/6⇒
n =2 ; 3 .
x₁=  - π/6 +2π =11π/6 ;   x₂ = - π/6 +3π =17π/6 .
-----
3π/2  ≤ π/6 +πn ≤  3π ⇔3π/2 -π/6 ≤ πn ≤  3π -π/6 ⇔4/3 ≤ n ≤  17/6⇒
 n=2
x ₃ =  π/6 +2π=13π /6 .

Answer 2

Для начала рассмотрим уравнение 4 * 16^sin^2x - 6 * 4^cos2x = 29.

Перепишем его в более удобной форме, используя свойства степеней: 2^2 * (2^4)^sin^2x - 2 * (2^2)^2^cos2x = 29.

Упростим выражение с помощью свойств степеней: 2^2 * 2^(4sin^2x) - 2 * 2^(4cos2x) = 29.

Так как основание у всех степеней одинаковое (2), то модифицируем уравнение: 2^(2 + 4sin^2x) - 2^(2 + 4cos2x) = 29.

Применим свойство равенства степеней с одинаковым основанием: 2 + 4sin^2x = 2 + 4cos2x.

Сократим обе части уравнения на 2: sin^2x = cos2x.

Воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: sin^2x = 1 - sin^2(2x).

Из этого уравнения можем выразить sin^2(2x): sin^2(2x) = 1 - sin^2x.

Применив формулу двойного угла для синуса, получаем: sin^2(2x) = 1 - 1 + sin^2(2x).

Сократим одинаковые слагаемые: sin^2(2x) - sin^2(2x) = 0.

Таким образом, корни данного уравнения будут такими углами 2x, для которых sin^2(2x) - sin^2(2x) = 0.

Решим данное уравнение: 0 = 0.

Видим, что данное уравнение выполняется для любых значений угла 2x.

Теперь найдем все значения x, принадлежащие отрезку [3π/2, 3π].

Поделим отрезок [3π/2, 3π] на отрезки длиной 2π, чтобы найти все значения угла x, удовлетворяющие данному условию.

В пределах отрезка [3π/2, 3π] содержится 1 полный оборот, начиная с 3π/2 и заканчивая 3π.

Таким образом, все значения угла x, принадлежащие отрезку [3π/2, 3π], можно записать в виде: x = 3π/2 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, решением уравнения 4 * 16^sin^2x - 6 * 4^cos2x = 29 на отрезке [3π/2, 3π] являются все значения x, записанные в виде x = 3π/2 + 2πk, где k - целое число.