Question

Найти наибольшее значение параметра a , при котором уравнение имеет единственное решение ax-1=корень из (4x-x^2-3)

Answer 1

Смотреть во вложении

Answer 2

Для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы выражение под корнем в правой части было положительным, т.е.

4x - x^2 - 3 > 0.

Для решения этого неравенства нужно найти корни уравнения x^2 - 4x + 3 = 0.

Используя квадратное уравнение и его корни, получаем:

x = (4 ± √(4^2 - 4*1*3)) / (2*1)

x1 = (4 + √(16 - 12)) / 2 = (4 + √4) / 2 = (4 + 2) / 2 = 3 x2 = (4 - √(16 - 12)) / 2 = (4 - √4) / 2 = (4 - 2) / 2 = 1

Теперь мы знаем, что уравнение ax - 1 = √(4x - x^2 - 3) будет иметь единственное решение только при значениях x, принадлежащих интервалу (1, 3).

Подставим x = 1 и x = 3 в это уравнение:

a*1 - 1 = √(4*1 - 1^2 - 3) a - 1 = √0 a - 1 = 0 a = 1

a*3 - 1 = √(4*3 - 3^2 - 3) 3a - 1 = √(12 - 9 - 3) 3a - 1 = √0 3a - 1 = 0 3a = 1 a = 1/3

Таким образом, при значениях параметра a равных 1 и 1/3 уравнение имеет единственное решение.