Question

Знайти проміжки зростання й спадання функції та її екстремуми y=8+x^3-6x

Answer 1

Найдём 1 производную функции y'=3*x²-6 и приравняем её к нулю 3*х²=6⇒х1=√2 (min, производная меняет знак с - на + при возрастании х) и х2=-√2 (min, производная меняет знак с + на - при возрастании х). Левее х2 и правее х1 производная неограниченно возрастает, поэтому к точке х2 слева функция возрастает, и вправо от точки х1 функция также возрастает. В промежутке х1 и х2 функция убывает. 

Ответ: точки экстремума х1 и х2. К точке х2 слева функция возрастает, и вправо от точки х1 функция также возрастает. В промежутке х1 и х2 функция убывает. 

Answer 2

Щоб знайти проміжки зростання й спадання функції та її екстремуми, спочатку знайдемо похідну функції та визначимо її нулі.

Дано функцію: \[ y = 8x^3 - 6x \]

1. Знайдемо похідну функції \( y \) за \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(8x^3 - 6x) \]

Використовуючи правила диференціювання, отримаємо: \[ y' = 24x^2 - 6 \]

2. Тепер знайдемо нулі похідної, оскільки вони вказують на точки, де функція може змінювати свій характер (екстремуми) або напрямок зростання/спадання.

\[ 24x^2 - 6 = 0 \]

Розв'яжемо це рівняння для \( x \):

\[ 24x^2 = 6 \] \[ x^2 = \frac{6}{24} \] \[ x^2 = \frac{1}{4} \] \[ x = \pm \frac{1}{2} \]

Отже, \( x = -\frac{1}{2} \) та \( x = \frac{1}{2} \) - це точки, в яких похідна рівна нулю, і тому можливі екстремуми функції.

3. Тепер визначимо проміжки зростання і спадання функції за допомогою знаків похідної. Для цього розглянемо знаки \( y' \) на інтервалах між нулями похідної та за їхніми межами.

- Інтервал 1: \((- \infty, -\frac{1}{2})\) При \( x < -\frac{1}{2} \), \( 24x^2 - 6 \) від'ємний (оскільки \( x^2 \) завжди невід'ємний), отже, функція спадає на цьому інтервалі.

- Інтервал 2: \((- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) При \(-\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}\), \( 24x^2 - 6 \) додатний, отже, функція зростає на цьому інтервалі.

- Інтервал 3: \((\frac{1}{2}, +\infty)\) При \( x > \frac{1}{2} \), \( 24x^2 - 6 \) знову від'ємний, отже, функція спадає на цьому інтервалі.

Отже, функція зростає на інтервалі \((- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})\) і спадає на інтервалах \((- \infty, -\frac{1}{2})\) та \((\frac{1}{2}, +\infty)\).

4. Тепер знайдемо значення функції в кінцях цих інтервалів та в точках екстремумів, щоб визначити, де функція має локальні максимуми та мінімуми:

- При \( x = -\frac{1}{2} \): \( y(-\frac{1}{2}) = 8(-\frac{1}{2})^3 - 6(-\frac{1}{2}) \) - При \( x = \frac{1}{2} \): \( y(\frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{2})^3 - 6(\frac{1}{2}) \)

- Якщо вам потрібно, ви можете також обчислити значення функції в кінцях інтервалів.

Отже, ви отримаєте значення функції в цих точках і зможете визначити, де функція має локальні максимуми та мінімуми.