Question

Докажите,что число 10(в 50 степени)- 4 делится на 3.

Answer 1

$10^{50}-4=99....96,$ - число, состоящее из 49-и девяток и одной 6.
Сумма цифр этого числа S=49*9+6 = 3(49*3+2) - кратна 3, значит и исходное число кратно 3.
По другому: 
$10^{50}-4=(10^{50}-1)-3=(10-1)(10^{49}+10^{48}+...+10+1)-3=$
$=9(10^{49}+10^{48}+...+10+1)-3$
Каждое число в разности делится на 3, значит и разность (то есть, исходное число) делится на 3

Answer 2

Для доказательства того, что число \(10^{50} - 4\) делится на 3, можно воспользоваться тем, что если \(a \equiv b \pmod{m}\) (читается как "a сравнимо с b по модулю m"), то \(a^n \equiv b^n \pmod{m}\) для любого целого положительного n.

Таким образом, мы можем посмотреть на остаток от деления \(10^{50}\) и 4 на 3:

1. \(10^{50} \equiv 1^{50} \equiv 1 \pmod{3}\) по малой теореме Ферма (так как 3 - простое число и \(10 \not\equiv 0 \pmod{3}\)). 2. \(4 \equiv 1 \pmod{3}\) (так как 4 делится на 3 с остатком 1).

Теперь вычитаем 4 из \(10^{50}\):

\[10^{50} - 4 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{3}.\]

Таким образом, \(10^{50} - 4\) делится на 3.