Question

Какое из чисел ∛2+∛4 или ∛2-∛4 является решением уравнения х³-6х-6=0? Нужно подробное рещение.

Answer 1

формула суммы кубов $a^3+b^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$

 

Пусть $x=\sqrt[3] {2}+\sqrt[3] {4}]$. Тогда $x^3=(\sqrt[3] {2}+\sqrt[3] {4})^3=2+4+3*\sqrt[3] {2}\sqrt[3] {4} *(\sqrt[3] {4}+\sqrt[3] {4})=6+6x$

откуда x^3-6x-6=0

 

т.е. $x=\sqrt[3] {2}+\sqrt[3] {4}]$ корень уравнения x^3-6x-6=0

 

Answer 2

Для определения, какое из чисел \( \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} \) или \( \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4} \) является решением уравнения \(x^3 - 6x - 6 = 0\), давайте предположим, что одно из этих чисел, скажем, \(a = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}\), является решением. Тогда мы можем записать уравнение:

\[a^3 - 6a - 6 = 0\]

Теперь давайте проверим, удовлетворяет ли это уравнение. Рассмотрим выражение \(a^3\):

\[a^3 = (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})^3\]

Мы можем разложить это выражение, используя формулу суммы кубов:

\[a^3 = (\sqrt[3]{2})^3 + 3(\sqrt[3]{2})^2(\sqrt[3]{4}) + 3\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4})^2 + (\sqrt[3]{4})^3\]

Теперь давайте упростим это:

\[a^3 = 2 + 3\sqrt[3]{2} \cdot 2 + 3\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2} + 4\]

\[a^3 = 6 + 9\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{8}\]

Теперь мы можем заменить \(a^3\) в уравнении:

\[6 + 9\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{8} - 6a - 6 = 0\]

Теперь давайте решим это уравнение относительно \(a\):

\[9\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{8} - 6a = -6\]

\[9\sqrt[3]{2} + 3\sqrt[3]{8} = 6a - 6\]

\[3\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{8} = 2a - 2\]

Теперь мы видим, что левая сторона выражения состоит из кубического корня из чисел 2 и 8, которые связаны с \(a\), а правая сторона делится на 2. Таким образом, левая сторона равна \(\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} = a\).

Таким образом, число \(a = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}\) является решением уравнения \(x^3 - 6x - 6 = 0\).