Question

Вычислить сумму: 1х2+2х5+3х8+...+nх(3хn-1)

Answer 1

Можно доказать по индукции, если угадать ответ, и если знаете как доказывать по индукции. Так вот, докажем, что ответ здесь (n+1)n^2.
При n=1, эта формула верна.
Предполжоим, что она верна и для произвольного n. Тогда докажем, что она верна и для n+1:
Подставим в эту сумму n+1 вместо n. Получим:
1*2+2*5+...+n*(3n-1)+(n+1)*(3(n+1)-1). Т.к. мы предположили что для n наша формула верна, то эта новая сумма n+1 слагаемого равна
(n+1)*n^2+(n+1)(3n+2)=(n+1)(n^2+3n+2).=((n+1)+1)(n+1)^2,
т.к. n^2+3n-2=(n+1)(n+2). Т.е. получилось, что сумма n+1 слагаемого равна нашей формуле если в нее подставить n+1. Итак по индукции сумма всего выражения равна (n+1)*n^2.

Answer 2

Данное выражение представляет собой сумму произведений двух членов для каждого значения переменной \( n \). Формула для \( n \)-го члена последовательности выглядит следующим образом:

\[ a_n = n \cdot (3n - 1) \]

Теперь задача - найти сумму первых \( n \) членов этой последовательности. Формула для суммы таких произведений может быть записана следующим образом:

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \]

Теперь заменим \( a_k \) в этой формуле на \( k \cdot (3k - 1) \):

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} k \cdot (3k - 1) \]

Теперь разберемся с этой суммой. Раскроем скобки и преобразуем выражение:

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 - k) \]

Теперь разобъем эту сумму на две части:

\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} 3k^2 - \sum_{k=1}^{n} k \]

Проанализируем каждую из этих сумм:

1. Сумма квадратов первых \( n \) натуральных чисел:

\[ \sum_{k=1}^{n} 3k^2 = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 \]

Формула для суммы квадратов первых \( n \) натуральных чисел:

\[ \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \]

Так что:

\[ 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{3n(n + 1)(2n + 1)}{2} \]

2. Сумма первых \( n \) натуральных чисел:

\[ \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2} \]

Теперь подставим обе суммы обратно в исходное выражение:

\[ S_n = \frac{3n(n + 1)(2n + 1)}{2} - \frac{n(n + 1)}{2} \]

Общий множитель \( \frac{n(n + 1)}{2} \) можно вынести за скобки:

\[ S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left(3(2n + 1) - 1\right) \]

\[ S_n = \frac{n(n + 1)(6n + 3 - 2)}{2} \]

\[ S_n = \frac{n(n + 1)(6n + 1)}{2} \]

Таким образом, сумма данной последовательности равна:

\[ S_n = \frac{n(n + 1)(6n + 1)}{2} \]