Question

Обчісліть площу фігури,обмеженої лініями у=5-х2,у=х+3

Answer 1

Y=5-x²     y=x+3
5-x²=x+3
x²+x-2=0    D=9
x₁=-2   x₂=1
S=∫¹₋₂(5-x²-x-3)dx=∫¹₋₂(-x₂-x+2)dx=(-x³/3-x²/2+2x) |¹₋₂=-(x³/3+x²/2-2x) |¹₋₂=
=-(1³/3+1²/2-2*1-(-2)³/3-(-2)²/2+2*(-2))=-(1/3+1/2-2+2²/₃-2-4)=-(-4,5)=4,5.
Ответ: S=4,5 кв. ед.

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома кривими, спочатку треба знайти точки їх перетину. Тобто, ми шукаємо значення x та y, при яких криві \( y = 5 - x^2 \) і \( y = x + 3 \) перетинаються.

Спочатку вирішимо систему рівнянь:

\[ \begin{cases} y = 5 - x^2 \\ y = x + 3 \end{cases} \]

Поставимо їх у рівність:

\[ 5 - x^2 = x + 3 \]

Приберемо \( x \) з одного боку та константи з іншого:

\[ x^2 + x - 2 = 0 \]

Тепер можемо факторизувати це квадратне рівняння:

\[ (x + 2)(x - 1) = 0 \]

Отже, ми отримали два значення \( x \): \( x = -2 \) та \( x = 1 \).

Тепер підставимо ці значення \( x \) у рівняння \( y = x + 3 \), щоб знайти відповідні значення \( y \):

1. Для \( x = -2 \): \( y = -2 + 3 = 1 \) 2. Для \( x = 1 \): \( y = 1 + 3 = 4 \)

Таким чином, точки перетину кривих - (-2, 1) та (1, 4).

Тепер, щоб знайти площу фігури між кривими та віссю x, використовуємо інтеграл:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \,dx \]

де \( f(x) \) та \( g(x) \) - це рівняння кривих (у даному випадку \( f(x) = 5 - x^2 \), \( g(x) = x + 3 \)), а \( a \) та \( b \) - це точки перетину.

\[ S = \int_{-2}^{1} |(5 - x^2) - (x + 3)| \,dx \]

Тепер розглянемо два випадки:

1. Коли \( (5 - x^2) - (x + 3) \) є додатнім: \[ S = \int_{-2}^{1} (5 - x^2) - (x + 3) \,dx \]

2. Коли \( (5 - x^2) - (x + 3) \) є від'ємним: \[ S = \int_{-2}^{1} (x + 3) - (5 - x^2) \,dx \]

Розв'язуючи ці інтеграли та беручи модуль від результату, отримаємо площу фігури. Якщо бажаєте, можу продовжити розв'язання для обох випадків.