Question

Определите абсциссы точек, в которых касательная к графику функции у=h (x) образует тупой угол с положительным направлением оси х, если h(х)=h^3-3x^2+1. Объясните, пожалуйста, как решить Заранее спасибо.

Answer 1

H(x)=x³-3x²+1
h(x)' =3x²-6x

Касательная образует тупой угол с положительным направлением оси х, если h(x)' <0

3x²-6x <0
3x(x-2)<0
x(x-2)<0
x=0    x=2
    +             -               +
-------- 0 ----------- 2 -------------
            \\\\\\\\\\\\\
x∈(0; 2)
Ответ: (0; 2)

Answer 2

Для определения абсцисс точек, в которых касательная к графику функции \( h(x) \) образует тупой угол с положительным направлением оси \( x \), нужно найти точки экстремума функции \( h(x) \). Тупой угол образуется в точках, где производная функции \( h(x) \) равна нулю и меняет свой знак.

Давайте найдем производную функции \( h(x) \) и приравняем ее к нулю:

\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(h(x)) = 3h^2(x) - 6x \]

Теперь приравняем \( h'(x) \) к нулю и решим уравнение:

\[ 3h^2(x) - 6x = 0 \]

\[ 3(h^2(x) - 2x) = 0 \]

\[ h^2(x) - 2x = 0 \]

\[ h^2(x) = 2x \]

\[ h(x) = \pm \sqrt{2x} \]

Таким образом, найденные функции \( h(x) = \sqrt{2x} \) и \( h(x) = -\sqrt{2x} \) представляют касательные, образующие тупой угол с положительным направлением оси \( x \).

Теперь найдем абсциссы точек пересечения этих функций с осью \( x \). Для этого приравняем \( h(x) \) к нулю:

\[ \sqrt{2x} = 0 \]

Решение этого уравнения:

\[ x = 0 \]

Таким образом, точка пересечения касательной \( h(x) = \sqrt{2x} \) с осью \( x \) - это точка (0, 0).

Теперь рассмотрим \( h(x) = -\sqrt{2x} \):

\[ -\sqrt{2x} = 0 \]

Это уравнение не имеет решений, так как отрицательное значение не может быть равно нулю. Следовательно, для \( h(x) = -\sqrt{2x} \) не существует точек пересечения с осью \( x \).

Итак, единственной точкой, в которой касательная к графику функции \( h(x) \) образует тупой угол с положительным направлением оси \( x \), является точка (0, 0).