Question

Может ли четырёхзначное число вида ABAB, где A и B - цифры, быть квадратом натурального числа?

Answer 1

Не может. 

Пусть ABAB - квадрат. Заметим, что AB делится на 101, так как ABAB = AB * 101. Но если квадрат делится на простое число, то он должен делиться и на квадрат этого простого числа. Но тут это не выполнено, так как AB < 100 < 101. Противоречие.

Answer 2

Чтобы четырехзначное число вида ABAB было квадратом натурального числа, необходимо, чтобы оно было квадратом целого числа. Рассмотрим все возможные значения для цифр A и B.

1. Когда A = 0, число ABAB принимает вид 0B0B. В этом случае, число ABAB будет кратно 10, но не будет кратно 100, поэтому оно не может быть квадратом натурального числа.

2. Когда A = 1, число ABAB принимает вид 1B1B. В этом случае, число ABAB будет кратно 11, но не будет кратно 121, поэтому оно не может быть квадратом натурального числа.

3. Когда A = 2, число ABAB принимает вид 2B2B. В этом случае, число ABAB будет кратно 22, но не будет кратно 484, поэтому оно не может быть квадратом натурального числа.

4. Когда A = 3, число ABAB принимает вид 3B3B. В этом случае, число ABAB будет кратно 33, но не будет кратно 1089, поэтому оно не может быть квадратом натурального числа.

5. Когда A = 4, число ABAB принимает вид