Question

Указать тип дифференциального уравнения и найти его общее решение y'=4y+5/2xy+3x

Answer 1

$y'=\frac{4y+5}{2xy+3x}\\\\y'=\frac{4y+5}{x(2y+3)}\; \; -\; s\; razdelyayushimisya\; peremennumi\\\\\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\cdot \frac{4y+5}{2y+3}\\\\\int \frac{(2y+3)dy}{4y+5}=\int \frac{dx}{x}\\\\\int (\frac{1}{2}+\frac{1}{2(4y+5)})dy=\int \frac{dx}{x}\\\\\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}\cdot ln|4y+5|=ln|x|+C$

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

y' = 4y + \frac{5}{2}xy + 3x

Тип дифференциального уравнения:

Это дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Оно имеет вид:

y' + P(x)y = Q(x)

где P(x) и Q(x) - функции от x.

Решение дифференциального уравнения:

Для решения данного дифференциального уравнения, мы можем использовать метод интегрирующего множителя. Чтобы найти интегрирующий множитель, мы умножаем обе части уравнения на функцию, зависящую только от x. В данном случае, мы ищем функцию μ(x), чтобы получить уравнение вида:

μ(x)y' + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x)

где μ(x) - интегрирующий множитель.

В нашем случае, P(x) = 4 и Q(x) = \frac{5}{2}xy + 3x. Мы ищем такую функцию μ(x), чтобы уравнение μ(x)y' + μ(x)P(x)y = μ(x)Q(x) стало точным (т.е. можно было представить его в виде производной некоторой функции).

Чтобы найти такую функцию μ(x), мы используем условие, что производная μ(x)y' по y должна быть равна производной μ(x)P(x)y по x. Таким образом, мы получаем следующее уравнение:

\frac{\partial}{\partial y} (\mu(x)y') = \frac{\partial}{\partial x} (\mu(x)P(x)y)

Раскроем производные по правилу произведения:

\mu'(x)y' + \mu(x)y'' = \mu'(x)P(x)y + \mu(x)P'(x)y + \mu(x)P(x)y'

Теперь мы можем сравнить коэффициенты при y', y и свободном члене слева и справа от равенства:

\mu'(x) = \mu(x)P(x) (1) \mu(x)y'' = \mu'(x)P(x)y + \mu(x)P'(x)y (2)

Из уравнения (1) мы можем выразить \mu'(x):

\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = P(x)

Интегрируем обе части уравнения:

\int \frac{\mu'(x)}{\mu(x)} dx = \int P(x) dx

Выполняя интегрирование, мы получаем:

ln|\mu(x)| = \int P(x) dx + C

где C - постоянная интегрирования.

Теперь найдем интегрирующий множитель μ(x), решив уравнение:

\mu(x) = e^{\int P(x) dx + C}

Теперь мы можем найти интегрирующий множитель μ(x). Подставим значение P(x) = 4:

\mu(x) = e^{\int 4 dx + C} = e^{4x + C}

Где C - константа интегрирования.

Теперь мы можем умножить исходное уравнение на интегрирующий множитель μ(x):

e^{4x + C}y' + 4e^{4x + C}y = e^{4x + C}\left(\frac{5}{2}xy + 3x\right)

Теперь мы можем записать это уравнение в виде производной от произведения функций:

\frac{d}{dx} (e^{4x + C}y) = e^{4x + C}\left(\frac{5}{2}xy + 3x\right)

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:

\int \frac{d}{dx} (e^{4x + C}y) dx = \int e^{4x + C}\left(\frac{5}{2}xy + 3x\right) dx

Заметим, что левая часть уравнения - это производная произведения функций, а правая часть - это интеграл произведения функций. Применим формулу интегрирования произведения функций:

e^{4x + C}y = \int e^{4x + C}\left(\frac{5}{2}xy\right) dx + \int e^{4x + C}(3x) dx

Теперь проинтегрируем правые части уравнения:

e^{4x + C}y = \frac{5}{2}x\int e^{4x + C}y dx + \int 3xe^{4x + C} dx

Из полученного уравнения мы можем выразить y:

y = \frac{\int 3xe^{4x + C} dx}{e^{4x + C} - \frac{5}{2}x\int e^{4x + C}y dx}

Интегрируя правую часть уравнения, мы можем получить общее решение для данного дифференциального уравнения. Однако, интегрирование может быть нетривиальным и может потребовать применение различных методов интегрирования.