Question

Найдите трехзначное число А, обладающее всеми следующими свойствами: сумма цифр числа А делится на 11; самма цифр числа А+11 делится на 11

Answer 1

Минимальная сумма цифр трёхзначного числа равна 1 (число 100).
Максимальная сумма цифр трёхзначного числа равна 27 (число 999).
Из этих сумм только две делятся на 11: 11 и 22.
Значит, сумма цифр числа A равна либо 11, либо 22.
1) При сложении чисел A и 7 переноса в старшие разряды не происходит.
Тогда сумма цифр числа A+7 на 2 больше, чем сумма цифр числа A и равна либо 13 (11+2), либо 24 (22+2=24). Ни 13, ни 24 на 11 не делятся.
Данный случай не возможен.
2) Происходит перенос из разряда единиц в разряд десятков.
Значит, младшая цифра числа A равна 9, а сумма двух старших цифр равна либо 2, либо 13. Рассмотрим все такие числа:
2.1. A=119, A+11=130, 1+3+0=4 - не делится на 11.
2.2. A=209, A+11=220, 2+2+0=4 - не делится на 11.
2.3. A=499, A+11=510, 5+1+0=6 - не делится на 11.
2.4. A=589, A+11=600, 6+0+0=6
2.5. A=679, A+11=690, 6+9+0=15
2.6. A=769, A+11=780, 7+8+0=15
2.7. A=859, A+11=870, 8+7+0=15
2.8. A=949, A+11=960, 9+6+0=15
И в этом случае, чисел, удовлетворяющих условию задачи, нет.
3). Происходит перенос из десятков в сотни (вторая цифра числа A равна 9, а сумма первой и третьей либо 2, либо 13).
3.1. A=191, A+11=202, 2+0+2=4
3.2. A=290, A+11=310, 3+1+0=4
3,3. A=499 - это уже было
3.4. A=598, A+11=609, 6+0+9=15
3.5. A=697, A+11=708, 7+0+8=15
3.6. A=796, A+11=807, 8+0+7=15
3.7. A=895, A+11=906, 9+0+6=15
3.8. A=994, A+11=1005, 1+0+0+5=6.
Мы рассмотрели все возможности. Вывод - чисел, удовлетворяющих условию задачи нет.
Я бы мог это доказать и короче, но, по-моему - так убедительнее.

Answer 2

Давайте рассмотрим трехзначное число \(ABC\), где \(A\), \(B\), и \(C\) - цифры числа.

1. Сумма цифр числа \(ABC\) делится на 11. 2. Сама сумма цифр числа делится на 11.

Таким образом, у нас есть следующие уравнения:

\[ \begin{align*} A + B + C &\equiv 0 \pmod{11} \quad \text{(1)} \\ (A + B + C) &\equiv 0 \pmod{11} \quad \text{(2)} \end{align*} \]

Мы ищем трехзначное число, удовлетворяющее этим условиям. Рассмотрим возможные комбинации цифр:

1. \(A=1, B=1, C=9\): \(1 + 1 + 9 = 11\), что удовлетворяет обоим уравнениям. 2. \(A=2, B=2, C=7\): \(2 + 2 + 7 = 11\), что также удовлетворяет обоим уравнениям. 3. \(A=3, B=3, C=5\): \(3 + 3 + 5 = 11\), опять же удовлетворяет обоим уравнениям.

Таким образом, три числа, которые соответствуют условиям, - это 119, 227 и 335.