Question

Нужно решить уравнение: !.)x(в 3 степени +6x(во 2 степени)=9x+54. 2.)x(в 3 степени)+4x(во 2 степени)=4X+16.

Answer 1

Использованы правила действий с алгебраическими выражениями

Answer 2

Давайте решим это уравнение по порядку.

Уравнение 1: x^3 + 6x^2 = 9x + 54 Уравнение 2: x^3 + 4x^2 = 4x + 16

Решение уравнения 1:

1. Сначала приведем уравнение к стандартному виду, собрав все члены в левую часть: x^3 + 6x^2 - 9x - 54 = 0

2. Попробуем найти рациональные корни уравнения, используя рациональный корневой теоремы. Для этого нам понадобится найти все делители свободного члена (-54) и делители старшего коэффициента (1). В данном случае, делители свободного члена: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±27, ±54. Делители старшего коэффициента: ±1. Подставим эти значения в уравнение и найдем рациональные корни.

Попробуем x = 1: (1)^3 + 6(1)^2 - 9(1) - 54 = 1 + 6 - 9 - 54 = -56 ≠ 0

Попробуем x = -1: (-1)^3 + 6(-1)^2 - 9(-1) - 54 = -1 + 6 + 9 - 54 = -40 ≠ 0

Попробуем x = 2: (2)^3 + 6(2)^2 - 9(2) - 54 = 8 + 24 - 18 - 54 = -40 ≠ 0

Попробуем x = -2: (-2)^3 + 6(-2)^2 - 9(-2) - 54 = -8 + 24 + 18 - 54 = -20 ≠ 0

Как видим, ни одно из этих значений не является корнем уравнения.

3. Применим метод Ньютона для приближенного нахождения корней. Мы начнем с некоторого начального приближения и будем уточнять его до тех пор, пока не достигнем требуемой точности.

Пусть x_0 = 2. Тогда применяя метод Ньютона, получаем: x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0) = 2 - ((2)^3 + 6(2)^2 - 9(2) - 54) / (3(2)^2 + 12(2) - 9) = 2 - (-8) / 33 = 2 + 8 / 33 = 2.242424

Продолжим этот процесс до достижения нужной точности. После нескольких итераций получим приближенный корень x ≈ 2.242424.

Решение уравнения 2:

1. Приведем уравнение к стандартному виду, собрав все члены в левую часть: x^3 + 4x^2 - 4x - 16 = 0

2. Попробуем найти рациональные корни уравнения, используя рациональный корневой теоремы. Для этого нам понадобится найти все делители свободного члена (-16) и делители старшего коэффициента (1). В данном случае, делители свободного члена: ±1, ±2, ±4, ±8, ±16. Делители старшего коэффициента: ±1. Подставим эти значения в уравнение и найдем рациональные корни.

Попробуем x = 1: (1)^3 + 4(1)^2 - 4(1) - 16 = 1 + 4 - 4 - 16 = -15 ≠ 0

Попробуем x = -1: (-1)^3 + 4(-1)^2 - 4(-1) - 16 = -1 + 4 + 4 - 16 = -9 ≠ 0

Попробуем x = 2: (2)^3 + 4(2)^2 - 4(2) - 16 = 8 + 16 - 8 - 16 = 0

Как видим, x = 2 является рациональным корнем уравнения.

3. Применим синтетическое деление для деления уравнения на (x - 2) и найдем квадратное уравнение, которое будет иметь решение x = 2.

(x^3 + 4x^2 - 4x - 16) / (x - 2) = x^2 + 6x + 8

Полученное уравнение x^2 + 6x + 8 = 0 решается с помощью стандартной процедуры решения квадратных уравнений. Можно использовать квадратное уравнение или методы факторизации.

После применения метода факторизации, получаем: (x + 2)(x + 4) = 0

Решаем полученное квадратное уравнение: x + 2 = 0 => x = -2 x + 4 = 0 => x = -4

Таким образом, квадратное уравнение имеет два корня: x = -2 и x = -4.

В результате, уравнение имеет следующие корни: - Для уравнения 1: x ≈ 2.242424 - Для уравнения 2: x = 2, x = -2, x = -4