Question

Пожалуйста помогите. с1. решите уравнение. 3^(2x+1)=27+53*3^x+3^2xc2. (1/3)^(x-1/x-4)>9^(x-4/x+4). Мне очень срочно надо. Заранее спасибо:)

Answer 1

C1 3^(2x+1)=27+53*3^x+3^2x
-27-53*3^x-3^(2x)+3^(2x+1)=0
Пусть y=3^x
2y^2-53y-27=0
По т. Виета(обратной)
x1+x2==53
x1*x2=-27 
x1=-0,5(не подходит) ; x2=27
3^x=27
x=3

C2
(1/3)^(x-1/x-4)>9^(x-4/x+4)
(1/3)^(x-1/x-4)>1/3^(-2)(x-4/x+4)
(x-1/x-4) ;         (-2)(x-4/x+4)
x=1                      x=4
1/3^(1)>1/3^(4)
Тождественно

Answer 2

Давайте решим поочередно каждое из уравнений:

1. Уравнение \(3^{2x+1} = 27 + 53 \cdot 3^x + 3^{2x}\):

Сначала упростим уравнение, приведя все слагаемые к виду, содержащему степень 3:

\[3^{2x+1} - 3^{2x} - 53 \cdot 3^x - 27 = 0.\]

Теперь выразим степень 3 через переменную \(u = 3^x\):

\[u^2 \cdot 3 - u^2 - 53u - 27 = 0.\]

Это уравнение квадратное относительно переменной \(u\). Решим его и найдем значения \(u\), затем вернемся к переменной \(x\):

\[u^2 \cdot 3 - u^2 - 53u - 27 = 0.\]

\[3u^2 - u^2 - 53u - 27 = 0.\]

\[2u^2 - 53u - 27 = 0.\]

Решим это уравнение. Представим его в виде произведения:

\[(2u + 1)(u - 27) = 0.\]

Отсюда получаем два возможных значения \(u\):

1. \(2u + 1 = 0 \Rightarrow u = -\frac{1}{2}\) (но это невозможно, так как \(u\) - степень 3 и не может быть отрицательным).

2. \(u - 27 = 0 \Rightarrow u = 27\).

Теперь вернемся к переменной \(x\), используя \(u = 3^x\):

\[3^x = 27.\]

\[x = 3.\]

Проверим решение:

\[3^{2 \cdot 3 + 1} = 729 = 27 + 53 \cdot 3^3 + 3^{2 \cdot 3}.\]

Таким образом, решение уравнения \(3^{2x+1} = 27 + 53 \cdot 3^x + 3^{2x}\) - это \(x = 3\).

2. Неравенство \(\frac{1}{3}^{\frac{x-1}{x-4}} > 9^{\frac{x-4}{x+4}}\):

Преобразим неравенство, используя тот факт, что \(9 = 3^2\):

\[\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x-1}{x-4}} > \left(3^2\right)^{\frac{x-4}{x+4}}.\]

Упростим обе стороны:

\[\frac{1}{3^{\frac{x-1}{x-4}}} > 3^{\frac{2(x-4)}{x+4}}.\]

Теперь выразим степень 3 через переменную \(u = 3^{\frac{x-4}{x+4}}\):

\[\frac{1}{u} > u^2.\]

Умножим обе стороны на \(u\) (помним, что \(u\) положительно, так как это степень положительного числа):

\[1 > u^3.\]

Теперь решим это неравенство. Так как \(u\) - положительное число, то можно возвести обе стороны в куб:

\[1^3 > u^3.\]

\[1 > u.\]

Теперь вернемся к переменной \(x\):

\[1 > 3^{\frac{x-4}{x+4}}.\]

Это неравенство выполняется для любых значений \(x\), так как степень 3 всегда положительна.

Таким образом, решение системы состоит из одного уравнения: \(x = 3\).