Question

( 2^(x^2+[x]) ) *( 3^(-[x] ) <=1

Answer 1

Логарифмируем выражение по основанию 2

Answer 2

Чтобы решить это уравнение, давайте разберемся с каждой его частью.

У вас есть уравнение:

\[2^{x^2 + [x]} \cdot 3^{-[x]} \leq 1\]

Давайте введем обозначения:

\[a = 2^{x^2 + [x]}\] \[b = 3^{-[x]}\]

Теперь уравнение выглядит так:

\[a \cdot b \leq 1\]

Мы хотим найти значения \(x\), при которых это уравнение выполняется.

Давайте рассмотрим каждый множитель по отдельности:

1. \(a = 2^{x^2 + [x]}\) - это степенная функция. Возможно, проще рассмотреть отдельно случаи для положительных и отрицательных значений \(x\).

- Если \(x\) положительно, то \([x] = x\) (дробная часть отсутствует). Тогда у нас есть \(a = 2^{x^2 + x}\). - Если \(x\) отрицательно, то \([x]\) - это дробная часть от \(x\), и \(a = 2^{x^2 + [x]}\).

2. \(b = 3^{-[x]}\) - это также степенная функция.

Теперь, когда у нас есть общий вид для \(a\) и \(b\), мы можем взглянуть на уравнение в целом.

Если \(a \cdot b \leq 1\), то:

\[2^{x^2 + x} \cdot 3^{-[x]} \leq 1\]

Теперь давайте рассмотрим различные случаи значений \(x\):

1. Если \(x > 0\): - \(2^{x^2 + x} \cdot 3^{-x} \leq 1\)

2. Если \(x < 0\): - \(2^{x^2 + [x]} \cdot 3^{-[x]} \leq 1\)

Для более конкретного ответа и решения уравнения, нужно рассмотреть эти случаи более подробно. Если у вас есть конкретное значение \(x\), вы можете подставить его в уравнение и проверить, выполняется ли неравенство. Если у вас есть диапазон значений \(x\), вы можете исследовать неравенство в этом диапазоне.

Answer 3

Дано выражение: 2^(x^2 + [x]) * 3^(-[x]) <= 1.

Для начала, заметим, что 2^(x^2 + [x]) и 3^(-[x]) являются положительными числами, так как 2^a и 3^b всегда больше нуля при любых значениях a и b.

Теперь рассмотрим два случая:

1. Если 2^(x^2 + [x]) * 3^(-[x]) = 1, то левая и правая части равны между собой. Так как 2^(x^2 + [x]) и 3^(-[x]) положительны, то равенство возможно только если оба числа равны единице. То есть, 2^(x^2 + [x]) = 1 и 3^(-[x]) = 1.

Для первого уравнения получаем: x^2 + [x] = 0. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Однако, так как [x] представляет собой наибольшее целое число, не превосходящее x, то [x] = x - {x}, где {x} - дробная часть числа x.

Таким образом, получаем x^2 + x - {x} = 0. Решая это уравнение, мы найдем значения x, при которых первое уравнение равно 1.

Для второго уравнения получаем: -[x] = 0. Так как [x] - наибольшее целое число, не превосходящее x, то -[x] = -x. Таким образом, получаем x = 0.

Итак, при решении первого случая получаем два значения x: x = 0 и решения уравнения x^2 + x - {x} = 0.

2. Если 2^(x^2 + [x]) * 3^(-[x]) < 1, то левая часть строго меньше правой. В этом случае неравенство не имеет решений, так как произведение положительных чисел не может быть меньше единицы.

Таким образом, решение данного неравенства состоит из двух частей: x = 0 и решения уравнения x^2 + x - {x} = 0, где {x} - дробная часть числа x.