Question

(a+b)^3+(b+c)^3+(c+a)^3-2*(a^3+b^3+c^3) как разложить на множители? (подробно опишите как вы это сделали)

Answer 1

A^3 + 3ba^2 + 3ab^2 + b^3 + b^3 + 3cb^2 + 3bc^2 + c^3 + c^3 + 3ac^2 + 3ca^2 + a^3 - 2a^3 - 2b^3 - 2c^3 = 3ba^2 + 3ab^2 + 3cb^2 + 3bc^2 + 3ac^2 + 3ca^2 = 3(ba^2 + ab^2 + cb^2 + bc^2 + ac^2 + ca^2)

Answer 2

Для разложения данного выражения на множители воспользуемся формулой суммы кубов:

(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.

Теперь применим эту формулу к каждому из трех слагаемых:

(a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 = (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + (b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3) + (c^3 + 3c^2a + 3ca^2 + a^3).

Теперь сгруппируем слагаемые по степеням переменных:

= (a^3 + b^3 + c^3) + (3a^2b + 3ab^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 3c^2a + 3ca^2) + (3ab^2 + 3bc^2 + 3ca^2) + (3a^2b + 3b^2c + 3c^2a).

Заметим, что второе и третье слагаемые равны между собой:

= (a^3 + b^3 + c^3) + 2(3a^2b + 3ab^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 3c^2a + 3ca^2).

Теперь заметим, что в каждом слагаемом есть общий множитель 3:

= (a^3 + b^3 + c^3) + 6(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2).

Теперь в каждом слагаемом заметим, что есть общий множитель a, b и c соответственно:

= (a^3 + b^3 + c^3) + 6ab(a + b) + 6bc(b + c) + 6ca(c + a).

Таким образом, выражение (a+b)^3 + (b+c)^3 + (c+a)^3 - 2*(a^3+b^3+c^3) разложилось на множители следующим образом:

= (a^3 + b^3 + c^3) + 6ab(a + b) + 6bc(b + c) + 6ca(c + a).