Question

Докажите что значение выражения 9 в 15 степени - 3 в 28 степени кратно 72

Answer 1

9¹⁵ - 3²⁸ = 3³⁰ - 3²⁸ = 3²⁸*(3² - 1) = 3²⁸*(9-1) = 3²⁸*8 = 3²⁶*9*8 = 3²⁶*72
Первый множитель целый, второй делится на 72, значит и все произведение делится на 72

Answer 2

Давайте разберемся с этим математическим выражением.

У нас есть следующее выражение: \[9^{15} - 3^{28}.\]

Мы хотим доказать, что это выражение кратно 72.

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся малой теоремой Ферма, которая утверждает, что если \(p\) — простое число, а \(a\) не делится на \(p\), то \[a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}.\]

Теперь, если \(p\) не делит \(a\), мы можем умножить обе стороны на \(a\), и получим \[a^p \equiv a \pmod{p}.\]

Теперь вернемся к нашему выражению. Мы имеем: \[9^{15} - 3^{28}.\]

Разложим это выражение:

\[9^{15} = (3^2)^{15} = 3^{30},\] \[3^{28}.\]

Теперь выражение можно переписать следующим образом: \[3^{30} - 3^{28}.\]

Теперь вынесем общий множитель: \[3^{28}(3^2 - 1).\]

Очевидно, что \(3^2 - 1 = 8\), так что выражение можно переписать как: \[8 \cdot 3^{28}.\]

Теперь, заметим, что 8 кратно 72. Таким образом, \[8 \cdot 3^{28}\] также кратно 72.

Таким образом, мы доказали, что \(9^{15} - 3^{28}\) кратно 72.