Question

Решите уравнение f'(x)=0, если f(x)= 2х4-4х2

Answer 1

$f(x)=2x^4-4x^2 \\ f'(x)=8x^3-8x \\ 8x^3-8x=0 \\ x^3-x=0 \\ x(x^2-1)=0 \\ x(x-1)(x+1)=0 \\ x_{1} =0; x_{2} =1; x_3=-1$

Answer 2

Для решения уравнения f'(x) = 0, нам нужно найти значения x, при которых производная функции f(x) равна нулю. Для начала давайте найдем производную функции f(x).

Функция f(x) дана как f(x) = 2x^4 - 4x^2. Чтобы найти производную этой функции, мы можем применить правило дифференцирования для каждого члена функции по отдельности.

Применяем правило степенной функции: f'(x) = d/dx (2x^4) - d/dx (4x^2)

Дифференцируя каждый член, получаем: f'(x) = 8x^3 - 8x

Теперь у нас есть производная функции f(x). Чтобы найти значения x, при которых f'(x) = 0, мы должны решить уравнение 8x^3 - 8x = 0.

Решение уравнения

Мы можем факторизовать это уравнение, вынеся общий множитель: 8x(x^2 - 1) = 0

Теперь мы можем решить это уравнение, приравнивая каждый множитель к нулю: 8x = 0 => x = 0

x^2 - 1 = 0 => x^2 = 1 => x = ±1

Таким образом, решения уравнения f'(x) = 0 равны x = 0, x = 1 и x = -1.

Проверка решений

Давайте проверим наши решения, подставив их обратно в исходное уравнение f'(x) = 0 и убедимся, что они действительно являются решениями.

При x = 0: f'(0) = 8(0)^3 - 8(0) = 0 - 0 = 0

При x = 1: f'(1) = 8(1)^3 - 8(1) = 8 - 8 = 0

При x = -1: f'(-1) = 8(-1)^3 - 8(-1) = -8 + 8 = 0

Проверка показывает, что все три значения являются решениями уравнения f'(x) = 0.

Таким образом, решения уравнения f'(x) = 0 для функции f(x) = 2x^4 - 4x^2 равны x = 0, x = 1 и x = -1.