Question

Разложить на множители:х^3-3х+2

Answer 1

$x^3-3x+2=(x-1)(x^2+x-2)$

Answer 2

Конечно, разложим выражение \(x^3 - 3x + 2\) на множители.

Для начала, давайте поищем рациональные корни этого многочлена, используя теорему о рациональных корнях (теорему о делении с остатком). По этой теореме, все рациональные корни многочлена \(x^3 - 3x + 2\) будут представлены в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) - это делитель свободного члена (в данном случае 2), а \(q\) - это делитель коэффициента при старшем члене (в данном случае 1).

Итак, попробуем найти такие значения \(x\), при которых \(x^3 - 3x + 2 = 0\):

Мы можем попробовать различные значения \(x\) и проверить, равно ли выражение нулю:

1. Попробуем \(x = 1\): \(1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0\), ура, это работает! Значит, \(x - 1\) является одним из множителей.

Теперь мы можем разделить \(x^3 - 3x + 2\) на \(x - 1\) с помощью деления многочленов или метода синтетического деления, чтобы получить квадратное уравнение, которое даст нам оставшиеся множители.

Получим: \[ \begin{align*} x^3 - 3x + 2 &= (x - 1)(x^2 + \text{некоторый многочлен}) \\ &= (x - 1)(x^2 + bx + c) \end{align*} \]

Теперь найдем коэффициенты \(b\) и \(c\) для \(x^2 + bx + c\):

Если умножить \(x - 1\) на \(x^2 + bx + c\), то получим: \[ x^3 + bx^2 + cx - x^2 - bx - c = x^3 + (b - 1)x^2 + (c - b)x - c \]

Сравниваем коэффициенты при соответствующих степенях \(x\) и приравниваем к соответствующим членам в исходном уравнении: \[ \begin{align*} b - 1 &= 0 \quad \text{(коэффициент при } x^2\text{)} \\ c - b &= -3 \quad \text{(коэффициент при } x\text{)} \end{align*} \]

Из первого уравнения следует, что \(b = 1\), а из второго уравнения, что \(c = -2\).

Таким образом, разложив \(x^3 - 3x + 2\) на множители, мы получаем: \[ x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) \]

А \(x^2 + x - 2\) можно разложить дальше на множители, это квадратное уравнение: \[ x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \]

Таким образом, окончательное разложение будет: \[ x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 1)(x + 2) \]