Question

Упростить:1) 1/cos^2 альфа- tg^2 альфа- sin^2 альфа2) 1/cos^2 альфа- tg^2 альфа (cos^2альфа+1)

Answer 1

$1)~\dfrac{1}{\cos^2\alpha}-tg^2\alpha-\sin^2\alpha=tg^2\alpha+1-tg^2\alpha-\sin^2\alpha=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$

$2)~\dfrac{1}{\cos^2\alpha}-tg^2\alpha(\cos^2\alpha+1)=tg^2\alpha+1-\sin^2\alpha-tg^2\alpha=1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и упростим их.

1) \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \tan^2 \alpha + \sin^2 \alpha \)

Сначала преобразим \(\tan^2 \alpha\) с использованием тригонометрической тождества \(\tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha - 1\):

\[ \frac{1}{\cos^2 \alpha} - (\sec^2 \alpha - 1) + \sin^2 \alpha \]

Теперь объединим дроби с общим знаменателем \(\cos^2 \alpha\):

\[ \frac{1 - \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

Вынесем \(\cos^2 \alpha\) из числителя:

\[ \frac{\cos^2 \alpha (1 - \sin^2 \alpha) + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

Используем тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

\[ \frac{\cos^2 \alpha \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

Теперь объединим числитель:

\[ \frac{\cos^4 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

2) \( \frac{1}{\cos^2 \alpha} - \tan^2 \alpha + (\cos^2 \alpha + 1) \)

Преобразим \(\tan^2 \alpha\) снова:

\[ \frac{1}{\cos^2 \alpha} - (\sec^2 \alpha - 1) + (\cos^2 \alpha + 1) \]

Объединим дроби с общим знаменателем \(\cos^2 \alpha\):

\[ \frac{1 - \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

Упростим:

\[ \frac{2 \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \]

Теперь, в обоих случаях, \(\cos^2 \alpha\) сокращается:

1) Ответ на первое уравнение:

\[ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \]

2) Ответ на второе уравнение:

\[ 2 \]

Таким образом, после упрощения, первое уравнение приводит к тригонометрическому тождеству, а второе уравнение равно 2.