Question

44б.Найти интеграл от 0 до 6 3dx/√(0.5x+1)

Answer 1

$\int _0^6\frac{3dx}{\sqrt{0,5x+1}}=3\cdot \frac{1}{0,5}\cdot 2\sqrt{0,5x+1}|_0^6=12\sqrt{\frac{x}{2}+1}|_0^6=\\\\=12(\sqrt4-\sqrt1)=12(2-1)=12\\\\P.S.\; \; \int \frac{dx}{\sqrt{kx+b}}=\frac{1}{k}\cdot 2\sqrt{kx+b}+C$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте разберемся.

Замена переменной

Для начала, давайте введем новую переменную замены:

u = 0.5x + 1

Тогда, мы можем выразить переменную x через переменную u:

x = 2u - 2

Вычисление дифференциала

Теперь, чтобы выразить дифференциал dx через дифференциал du, мы продифференцируем обе части уравнения u = 0.5x + 1:

du = 0.5dx

Отсюда, мы можем выразить dx через du:

dx = 2du

Подстановка в интеграл

Теперь, давайте подставим наши выражения для x и dx в исходный интеграл:

∫(0 до 6) 3dx/√(0.5x+1) = ∫(0 до 6) 3(2du)/√u

Получаем:

∫(0 до 6) 6du/√u

Вычисление интеграла

Этот новый интеграл проще решить. Мы можем использовать свойство степенного интеграла:

∫u^n du = (u^(n+1))/(n+1) + C

В нашем случае, n = -0.5. Поэтому мы получаем:

∫(0 до 6) 6du/√u = 6(2√u) + C = 12√u + C

Подстановка обратной переменной

Теперь, чтобы получить окончательный ответ в исходных переменных, мы можем подставить обратную переменную замены u = 0.5x + 1:

12√u + C = 12√(0.5x+1) + C

Окончательный ответ

Таким образом, окончательный ответ нашего интеграла ∫(0 до 6) 3dx/√(0.5x+1) равен:

12√(0.5x+1) + C

где C - произвольная постоянная.