Question

При каком значении t прямая y=7x-3 является касательной к графику функции f(x)=x^2+3x+t

Answer 1

Производная - это тангенс угла наклона касательной. В нашем случае это 7.
y'=2x+3=7
откуда х=2
2^2+3*2+t=7*2-3
t=14-3-4-6=1
t=1

Answer 2

Чтобы прямая \(y = 7x - 3\) стала касательной к графику функции \(f(x) = x^2 + 3x + t\), необходимо, чтобы уравнение этой прямой имело ровно один корень с уравнением \(f(x)\).

Уравнение прямой \(y = 7x - 3\) можно представить в виде \(f(x) = 7x - 3\). Теперь нам нужно решить уравнение \(7x - 3 = x^2 + 3x + t\) и найти значение \(t\), при котором уравнение имеет единственный корень.

Приведем уравнение к канонической форме квадратного уравнения:

\[0 = x^2 + (3 - 7)x + (t + 3)\]

Теперь используем дискриминант (\(\Delta\)) квадратного уравнения, чтобы определить условие на количество корней:

\[\Delta = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = 3 - 7 = -4\), и \(c = t + 3\).

Если \(\Delta > 0\), у уравнения два корня; если \(\Delta = 0\), у уравнения один корень; если \(\Delta < 0\), у уравнения нет действительных корней.

Так как нам нужен только один корень, уравнение должно иметь единственный корень, то есть \(\Delta = 0\). Подставим это условие:

\[0 = (-4)^2 - 4(1)(t + 3)\]

\[0 = 16 - 4t - 12\]

\[4t = 4\]

\[t = 1\]

Таким образом, при \(t = 1\) прямая \(y = 7x - 3\) является касательной к графику функции \(f(x) = x^2 + 3x + t\).