Question

Помогитееееее sin7x-sinx=0

Answer 1

1) 3-3сosx=2(1-cos²x)
   2cos²x-3cosx+1=0
D=(-3)²-4·2=9-8=1
       cosx=(3-1)/4                                         или        cosx=(3+1)/4
         cosx=0,5                                             или        cos x=1
$x=\pmarccos0,5+2 \pi k,k\inZ$     или         х=2πn,n∈Z

$2) tgx+ \frac{3}{tgx}=4 \Rightarrow \frac{tg ^{2}x-4tgx+3 }{tgx}=0$
tgx≠0
tg²x-4tgx+3=0
D=16-12=4=2²
tgx=(4-2)/2            или               tg x=(4+2)/2
tgx=1                     или               tgx=3
x=π/4 + πk, k∈Z                        x=arctg 3+ πn, n∈Z
3) tg²x=1
tgx=1                      или     tgx=-1
x=π/4 + πk, k∈Z    или    x=(-π/4)+πn, n∈Z

$4) tgx-\frac{4}{tgx}=3, \\ \frac{tg ^{2}x-3tgx-4 }{tgx}=0$
tgx≠0
tg²x-3tgx-4=0
D=(-3)²-4·(-4)=9+16=25=5²
tgx=(3-5)/2                       или          tgx=(3+5)/2
tgx=-1                               или           tgx=4
x=(-π/4)+πk, k∈Z            или            x=arctg 4+ πn, n∈Z

5) ctg²x=3
ctg x= √3                      или        сtgx=-√3
x=(π/6)+πk, k∈Z         или        x=(π-arctg√3) + πn, n∈Z               
                                                   x=(π -  π/6) + πn, n∈Z
                                                   x=5π/6    + πn, n∈ Z

6) cos 7x+cosx=0
Применяем формулу суммы косинусов:
$cos \alpha +cos \beta =2cos \frac{ \alpha + \beta }{2}\cdot cos \frac{ \alpha - \beta }{2}$
2·cos4x·cos3x=0
cos4x= 0                    или        cos 3x=0
4x=π/2 + πk, k∈Z      или          3x=π/2 + πk, k∈Z
x=π/8 + πk/4, k∈Z      или          х=π/6 + πn/3, n∈Z

7) sin 7x-sinx=0
Применяем формулу разности синусов:
$sin \alpha -sin \beta =2\cdot sin \frac{ \alpha - \beta }{2}\cdot cos \frac{ \alpha + \beta }{2}$
2 sin 3x·cos 4x=0
sin3x=0           или        cos 4x=0
3x=πk, k∈Z     или            4х=(π/2) +πn, n∈Z
x=πk/3, k∈Z     или            х=(π/8) +(πn/4), n∈Z

Answer 2

Данное уравнение sin(7x) - sin(x) = 0 может быть решено с использованием тригонометрических тождеств и свойств синуса. Давайте разберемся подробнее.

Используем тригонометрическое тождество

Начнем с использования тригонометрического тождества для разности синусов:

sin(A) - sin(B) = 2 * cos((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

Применим это тождество к нашему уравнению:

sin(7x) - sin(x) = 2 * cos((7x + x) / 2) * sin((7x - x) / 2)

Упростим выражение:

sin(7x) - sin(x) = 2 * cos(4x) * sin(3x)

Разложение функции в произведение

Далее, используем тождество для произведения синусов:

sin(A) * sin(B) = (1/2) * (cos(A - B) - cos(A + B))

Применим это тождество к нашему уравнению:

2 * cos(4x) * sin(3x) = (1/2) * (cos(4x - 3x) - cos(4x + 3x))

Упростим выражение:

2 * cos(4x) * sin(3x) = (1/2) * (cos(x) - cos(7x))

Разбиение на два уравнения

Теперь мы получили два уравнения:

1. 2 * cos(4x) * sin(3x) = (1/2) * cos(x) 2. 2 * cos(4x) * sin(3x) = -(1/2) * cos(7x)

Мы рассмотрим каждое уравнение отдельно.

Решение для уравнения 1

Рассмотрим первое уравнение:

2 * cos(4x) * sin(3x) = (1/2) * cos(x)

Поделим обе части уравнения на cos(4x):

2 * sin(3x) = (1/2) * tan(4x)

Перепишем tan(4x) в виде sin(4x) / cos(4x):

2 * sin(3x) = (1/2) * sin(4x) / cos(4x)

Умножим обе части уравнения на 2 * cos(4x):

4 * cos(4x) * sin(3x) = sin(4x)

Используя тригонометрическое тождество sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A), получаем:

2 * sin(2 * 2x) = sin(4x)

Используя тригонометрическое тождество sin(2A) = 2 * sin(A) * cos(A), получаем:

4 * (2 * sin(2x) * cos(2x)) = sin(4x)

Упростим выражение:

8 * sin(2x) * cos(2x) = sin(4x)

Решение для уравнения 2

Рассмотрим второе уравнение:

2 * cos(4x) * sin(3x) = -(1/2) * cos(7x)

Поделим обе части уравнения на cos(4x):

2 * sin(3x) = -(1/2) * tan(7x)

Перепишем tan(7x) в виде sin(7x) / cos(7x):

2 * sin(3x) = -(1/2) * sin(7x) / cos(7x)

Умножим обе части уравнения на 2 * cos(7x):

4 * cos(7x) * sin(3x) = -sin(7x)

Общее решение

Теперь у нас есть два уравнения:

1. 8 * sin(2x) * cos(2x) = sin(4x) 2. 4 * cos(7x) * sin(3x) = -sin(7x)

Решение этих уравнений может быть достаточно сложным и может включать использование численных методов или графического анализа. Однако, я могу предоставить вам общую информацию о решении.

Решение уравнений будет зависеть от значения x и может включать различные комбинации значений синуса и косинуса. Если вам нужно конкретное значение x, я рекомендую использовать численные методы или программное обеспечение для решения уравнений на компьютере.

Надеюсь, эта подробная информация помогла вам понять, как решить данное тригонометрическое уравнение sin(7x) - sin(x) = 0.