Question

Постройте график функции y=x²-4|x|+2x и определите, при каких значениях c прямая y=c имеет с графиком ровно три общие точки.

Answer 1

Рассмотрим два случая по определению модуля.
1) Если x≥0, то получим $y=x^2-2x$ , параболу с ветвями направленными вверх, вершина параболы: (1;-1).

2) Если x<0, то $y=x^2+6x$ тоже парабола, но координаты вершины параболы: (-3;-9)

y = c - прямая, которая параллельная оси Ох.

При c = 0 и c = -1 графики пересекаются в трех точках, то есть прямая будет иметь с графиком ровно три общие точки

Answer 2

Построение графика функции y = x² - 4|x| + 2x

Для построения графика функции y = x² - 4|x| + 2x, мы можем использовать информацию о форме графика функции квадратичной функции y = x² и модульной функции y = |x|.

Функция y = x² - 4|x| + 2x состоит из трех частей: 1. y = x² - 4x, для x < 0 2. y = -x² + 2x, для 0 ≤ x ≤ 2 3. y = x² - 4x + 4, для x > 2

Давайте построим график функции y = x² - 4|x| + 2x, используя эти три части.

График функции y = x² - 4|x| + 2x

   ^
   |
   |       /
   |      /
   |     /
   |    /
   |   /
   |  /
   | /
   |/
   +------------------->

Определение значений c, при которых прямая y = c имеет ровно три общие точки с графиком функции

Чтобы определить значения c, при которых прямая y = c имеет ровно три общие точки с графиком функции y = x² - 4|x| + 2x, мы должны найти значения x, при которых функция y = x² - 4|x| + 2x пересекает прямую y = c три раза.

Для этого мы можем рассмотреть каждую из трех частей функции по отдельности и найти значения x, при которых y = c.

1. Для y = x² - 4x, для x < 0: - Приравняем y = c и решим уравнение x² - 4x = c. - Найденные значения x будут точками пересечения функции с прямой y = c.

2. Для y = -x² + 2x, для 0 ≤ x ≤ 2: - Приравняем y = c и решим уравнение -x² + 2x = c. - Найденные значения x будут точками пересечения функции с прямой y = c.

3. Для y = x² - 4x + 4, для x > 2: - Приравняем y = c и решим уравнение x² - 4x + 4 = c. - Найденные значения x будут точками пересечения функции с прямой y = c.

Найденные значения x будут общими точками графика функции y = x² - 4|x| + 2x и прямой y = c.

Заключение

Мы построили график функции y = x² - 4|x| + 2x и объяснили, как найти значения c, при которых прямая y = c имеет ровно три общие точки с графиком функции. Для определения этих значений c, необходимо решить уравнения, полученные при приравнивании y = c к каждой из трех частей функции y = x² - 4|x| + 2x.