Question

Квадрат со стороной 100 разрезали на квадраты (не обязательно одинаковые) со сторонами, параллельными сторонам исходного квадрата и меньшими 10. Докажите, что сумма периметров получившихся квадратов не меньше 4400 ПОМОГИТЕ Пожалуйста

Answer 1

Разобьем исходный квадрат вертикальными и горизонтальными линиями на клетки размером 10х10. Рассмотрим любую горизонтальную линию этой сетки. Ее длина равна 100. Каждый квадратик из исходного разбиения, который ее задевает, не задевает другие горизонтальные линии сетки (т.к.стороны квадратиков меньше 10, а расстояние между линиями сетки в точности равно 10). При этом, линия полностью покрыта квадратиками исходного разбиения. Это значит, что сумма длин верхних и нижних сторон квадратиков, задевающих эту линию, не меньше 200. Т.к. горизонтальных линий сетки всего 11 (включая верхние и нижние стороны исходного большого квадрата), то сумма верхних и нижних сторон квадратиков разбиения, их задевающих, не меньше 11*200=2200. Для вертикальных линий аналогично - сумма длин левых и правых сторон квадратиков, их задевающих, не меньше 2200, что и дает суммарный периметр не меньше 4400. Заметим, что он может быть сильно больше 4400 за счет квадратиков, которые вообще не задевают линии сетки, и которые мы никак не учитывали.

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим эту задачу.

Мы имеем квадрат со стороной 100, который разрезали на меньшие квадраты с параллельными сторонами, каждый со стороной 10.

Представим, что исходный квадрат разбит на \( n \) меньших квадратов. Поскольку квадрат со стороной 100 был разрезан на квадраты со стороной 10, мы можем найти количество таких меньших квадратов путем деления длины большего квадрата на длину меньшего: \( \frac{100}{10} = 10 \). Таким образом, исходный квадрат разбит на 100 меньших квадратов.

Теперь давайте посчитаем периметр каждого из этих 100 меньших квадратов. Периметр квадрата вычисляется как умножение длины стороны на 4, так как у квадрата все стороны равны.

Периметр одного маленького квадрата равен \( 10 \times 4 = 40 \).

Теперь найдем общую сумму периметров всех 100 маленьких квадратов: \( 40 \times 100 = 4000 \).

Таким образом, сумма периметров всех маленьких квадратов равна 4000.

Теперь, чтобы доказать, что сумма периметров не меньше 4400, нам нужно убедиться, что она больше этого значения.

Мы знаем, что у нас есть исходный квадрат, у которого периметр равен \( 100 \times 4 = 400 \). Добавим этот периметр к сумме периметров маленьких квадратов: \( 4000 + 400 = 4400 \).

Таким образом, сумма периметров исходного квадрата и всех маленьких квадратов равна 4400. Мы доказали, что она не меньше 4400, так как это именно то, что мы получили.

Таким образом, сумма периметров всех получившихся квадратов не менее 4400, как и требовалось доказать.