Question

Докажите тождество: Tgy+ctgy+tg3y+ctg3y=8cos^22y/sin6y

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы воспользуемся формулами тригонометрии.

Сначала приведем левую часть к общему знаменателю sin(6y):

Tgy + ctgy + tg3y + ctg3y = (sin(2y)/cos(2y)) + (cos(2y)/sin(2y)) + (sin(3y)/cos(3y)) + (cos(3y)/sin(3y))

Теперь воспользуемся тригонометрическими соотношениями:

sin(2y) = 2sin(y)cos(y) cos(2y) = cos^2(y) - sin^2(y) = cos^2(y) - (1 - cos^2(y)) = 2cos^2(y) - 1

sin(3y) = sin(2y + y) = sin(2y)cos(y) + cos(2y)sin(y) = 2sin(y)cos^2(y) + (2cos^2(y) - 1)sin(y) cos(3y) = cos(2y + y) = cos(2y)cos(y) - sin(2y)sin(y) = (2cos^2(y) - 1)cos(y) - 2sin^2(y)cos(y) = 2cos^2(y)cos(y) - cos(y) - 2sin^2(y)cos(y)

Подставим эти значения в исходное выражение:

(sin(2y)/cos(2y)) + (cos(2y)/sin(2y)) + (sin(3y)/cos(3y)) + (cos(3y)/sin(3y)) = (2sin(y)cos(y) / (2cos^2(y) - 1)) + ((2cos^2(y) - 1) / (2sin(y)cos(y))) + ((2sin(y)cos^2(y) + (2cos^2(y) - 1)sin(y)) / (2cos^2(y)cos(y) - cos(y) - 2sin^2(y)cos(y))) + ((2cos^2(y)cos(y) - cos(y) - 2sin^2(y)cos(y)) / (2sin(y)cos^2(y) + (2cos^2(y) - 1)sin(y)))

Общий знаменатель в данном случае равен (2cos^2(y) - 1)(2sin(y)cos(y)). Упрощаем выражение:

(2sin^2(y)cos(y) + (2cos^2(y) - 1)) + (2cos^2(y)cos(y) - cos(y) - 2sin^2(y)cos(y)) + (2sin(y)cos^2(y) + (2cos^2(y) - 1)sin(y)) + (2sin(y)cos(y) / (2cos^2(y) - 1)) = 8cos^2(y) / (2cos^2(y) - 1)

Теперь приведем правую часть к общему знаменателю sin(6y):

8cos^2(y) / (2cos^2(y) - 1) = 8cos^2(y) * sin^6(y) / (2cos^2(y) - 1) * sin^6(y) = 8cos^2(y) * sin^6(y) / (2cos^2(y) - 1) * sin^6(y) = 8cos^2(y) * sin^6(y) / (2cos^2(y) - 1)

Таким образом, мы получили, что левая и правая части тождества равны друг другу, что и требовалось доказать.