Question

упроститьcos^6 α + sin^6 α+ 3cos^2 α * sin^2 α

Answer 1

cos^6 α  +  sin^6 α+ 3cos^2 α * sin^2 α=

=(cos^2 α  +  sin^2 α)(cos^4 α  +  sin^4 α -cos^2 α * sin^2 α)+3cos^2 α * sin^2 α=

=1*(cos^4 α  +  sin^4 α -cos^2 α * sin^2 α)+3cos^2 α * sin^2 α=

cos^4 α  +  sin^4 α -cos^2 α * sin^2 α+3cos^2 α * sin^2 α=

cos^4 α  +  sin^4 α +2cos^2 α * sin^2 α=

(cos^2 α  +  sin^2 α)^2=1

Answer 2

Давайте упростим выражение \( \cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha \).

1. Начнем с замечания, что \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \) (тождество Пифагора). 2. Воспользуемся этим тождеством для упрощения выражения:

\[ \begin{align*} &\cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha \\ &= (\cos^2\alpha)^3 + (\sin^2\alpha)^3 + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha \\ &= (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)(\cos^4\alpha - \cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha) + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha \\ &= (\cos^4\alpha + 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha) + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha \\ &= \cos^4\alpha + 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha. \end{align*} \]

3. Теперь можно воспользоваться замечанием, что \( \cos^4\alpha + 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)^2 = 1 \):

\[ \begin{align*} &\cos^4\alpha + 2\cos^2\alpha\sin^2\alpha + \sin^4\alpha + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha \\ &= 1 + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha. \end{align*} \]

Таким образом, упрощенное выражение \( \cos^6\alpha + \sin^6\alpha + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha \) равно \( 1 + 3\cos^2\alpha \cdot \sin^2\alpha \).