Question

3x^2+40x+10<-x^2+11x+3

Answer 1

$3 x^{2} +40x+10<- x^{2} +11x+3 \\ 4 x^{2} + 29 x + 7 < 0 \\ 4 x^{2} + 29 x + 7 = 0 \\ D = 841 - 4 * 4 * 7 = 729 \\ x_{12} = \frac{-29-+27}{8} ; x_{1} = -7 ; x_{2} = - 0,25$
Пишу без рисунка (координатная прямая)
Ответ: (-7;-0,25)

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3\), давайте приведем его к стандартному виду:

\[4x^2 + 29x + 7 < 0\]

Теперь мы можем воспользоваться методом знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется. Этот метод основан на знании знаков множителей в произведении. Давайте найдем корни уравнения \(4x^2 + 29x + 7 = 0\).

\[4x^2 + 29x + 7 = 0\]

Корни можно найти, используя квадратное уравнение. Дискриминант этого уравнения равен:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 4\), \(b = 29\), и \(c = 7\).

\[D = 29^2 - 4 \cdot 4 \cdot 7\]

\[D = 841 - 112\]

\[D = 729\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

\[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + \sqrt{729}}{8} = -\frac{7}{2}\]

\[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - \sqrt{729}}{8} = -\frac{1}{4}\]

Теперь мы можем использовать эти корни для разбиения числовой прямой на интервалы и определения знаков в каждом интервале. Вспомним, что умножение на отрицательное число меняет знак неравенства. Таким образом, неравенство \(4x^2 + 29x + 7 < 0\) выполняется на интервалах между корнями.

Итак, у нас есть три интервала:

1. \(-\infty < x < -\frac{7}{2}\) 2. \(-\frac{7}{2} < x < -\frac{1}{4}\) 3. \(-\frac{1}{4} < x < +\infty\)

Теперь давайте определим знак выражения \(4x^2 + 29x + 7\) на каждом из этих интервалов.

1. Подставим \(x = -\frac{8}{2} = -4\) (любое значение между \(-\infty\) и \(-\frac{7}{2}\)): \(4(-4)^2 + 29(-4) + 7 = 64 - 116 + 7 = -45\), что отрицательно.

2. Подставим \(x = -\frac{3}{2}\) (любое значение между \(-\frac{7}{2}\) и \(-\frac{1}{4}\)): \(4\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 29\left(-\frac{3}{2}\right) + 7 = 9 - \frac{87}{2} + 7 = -\frac{67}{2}\), что отрицательно.

3. Подставим \(x = 0\) (любое значение между \(-\frac{1}{4}\) и \(+\infty\)): \(4(0)^2 + 29(0) + 7 = 7\), что положительно.

Таким образом, неравенство \(4x^2 + 29x + 7 < 0\) выполняется на интервалах \(-\infty < x < -\frac{7}{2}\) и \(-\frac{7}{2} < x < -\frac{1}{4}\).

Итак, решение исходного неравенства \(3x^2 + 40x + 10 < -x^2 + 11x + 3\) - это интервалы \(-\infty < x < -\frac{7}{2}\) и \(-\frac{7}{2} < x < -\frac{1}{4}\).