Question

Докажите неравенство: а) 9b^2+1≥6b

Answer 1

Задание решено......

Answer 2

Чтобы доказать неравенство 9b^2 + 1 ≥ 6b для переменной b, мы можем использовать различные методы, включая факторизацию, анализ графика функции или применение математических неравенств.

Метод 1: Факторизация Для начала, давайте попробуем факторизовать левую часть неравенства. Мы можем заметить, что 9b^2 + 1 является суммой квадрата и единицы. Мы можем представить его как (3b)^2 + 1^2. Это становится (3b + 1)(3b - 1) + 1.

Теперь неравенство принимает вид (3b + 1)(3b - 1) + 1 ≥ 6b.

Раскрывая скобки, получаем: 9b^2 - 1 + 1 ≥ 6b.

Упрощая выражение, получаем: 9b^2 ≥ 6b.

Теперь, чтобы продолжить доказательство, мы можем перенести все члены в одну сторону и привести квадратное уравнение к стандартному виду: 9b^2 - 6b ≥ 0.

Факторизуем это уравнение: 3b(3b - 2) ≥ 0.

Теперь у нас есть произведение двух факторов, которое должно быть больше или равно нулю. Для этого произведение должно быть положительным или равным нулю. Это означает, что или оба фактора положительны, или оба фактора равны нулю.

1) 3b > 0 и 3b - 2 > 0: Из первого неравенства получаем b > 0. Из второго неравенства получаем b > 2/3. Пересекая эти два интервала, получаем b > 2/3.

2) 3b < 0 и 3b - 2 < 0: Из первого неравенства получаем b < 0. Из второго неравенства получаем b < 2/3. Пересекая эти два интервала, получаем b < 0.

3) 3b > 0 и 3b - 2 < 0: Из первого неравенства получаем b > 0. Из второго неравенства получаем b < 2/3. Но эти два интервала не пересекаются, поэтому нет решений в этом случае.

4) 3b < 0 и 3b - 2 > 0: Из первого неравенства получаем b < 0. Из второго неравенства получаем b > 2/3. Но эти два интервала не пересекаются, поэтому нет решений в этом случае.

Таким образом, решение неравенства 9b^2 + 1 ≥ 6b состоит из двух интервалов: b > 2/3 и b < 0.

Метод 2: Анализ графика функции Мы также можем анализировать график функции y = 9b^2 + 1 - 6b, чтобы найти значения переменной b, удовлетворяющие неравенству. Построив график, мы можем увидеть, где функция находится выше или ниже оси x.

Анализируя график, мы видим, что функция y = 9b^2 + 1 - 6b выше оси x в интервалах b > 2/3 и b < 0. Это подтверждает наше предыдущее решение.

Таким образом, мы доказали, что решение неравенства 9b^2 + 1 ≥ 6b состоит из двух интервалов: b > 2/3 и b < 0.