Question

Пользуясь определением , найдите производную функции f(x) в точке x0 : а). f(x)= 2/x + 1, x0= -1 б). f(x)=3 - 4/x , x0= 2

Answer 1

а) f'(x)=-2/x^2, f'(x0)=-2/(-1)^2=-2/1=-2

б) f'(x)=4/x^2, f'(x0)=4/2^2=4/4=1

Answer 2

а) Для нахождения производной функции f(x) в точке x0, используем определение производной: f'(x0) = lim(h->0) [f(x0 + h) - f(x0)] / h

Для данной функции f(x) = 2/x + 1, найдем производную в точке x0 = -1: f'(x0) = lim(h->0) [f(-1 + h) - f(-1)] / h = lim(h->0) [2/(-1 + h) + 1 - (2/(-1) + 1)] / h = lim(h->0) [2/(-1 + h) - 1] / h = lim(h->0) [(2 - (-1 + h)) / (-1 + h)] / h = lim(h->0) [(2 + h) / (-1 + h)] / h = lim(h->0) (2 + h) / (-1 + h) * 1/h = lim(h->0) (2 + h) / (-1 + h) * 1/(1/h) = lim(h->0) (2 + h) / (-1 + h) * h/1 = lim(h->0) (2 + h) / (-1 + h) * h = (-1) * 1 = -1

Таким образом, производная функции f(x) = 2/x + 1 в точке x0 = -1 равна -1.

б) Для данной функции f(x) = 3 - 4/x, найдем производную в точке x0 = 2: f'(x0) = lim(h->0) [f(2 + h) - f(2)] / h = lim(h->0) [3 - 4/(2 + h) - (3 - 4/2)] / h = lim(h->0) [3 - 4/(2 + h) - (3 - 2)] / h = lim(h->0) [3 - 4/(2 + h) - 1] / h = lim(h->0) [3 - 4/(2 + h) - (2(2 + h))/(2 + h)] / h = lim(h->0) [3 - 4/(2 + h) - (4 + 2h)/(2 + h)] / h = lim(h->0) [3 - (4 + 4h)/(2 + h)] / h = lim(h->0) [(3(2 + h) - (4 + 4h))/(2 + h)] / h = lim(h->0) [(6 + 3h - 4 - 4h)/(2 + h)] / h = lim(h->0) [(2 - h)/(2 + h)] / h = lim(h->0) (2 - h)/(h(2 + h)) = lim(h->0) (2 - h)/(h^2 + 2h) = 2/2 = 1

Таким образом, производная функции f(x) = 3 - 4/x в точке x0 = 2 равна 1.