Question

Х^8+х^7+1 помогите разложить на множители, с объяснением если можно

Answer 1

$x^8+x^7+1=0\\x^8+x^7+x^6-x^6-x^5-x^4+x^5+x^4+x^3-x^3-x^2-x+x^2+x+1\\=(x^8+x^7+x^6)-(x^6+x^5+x^4)+(x^5+x^4+x^3)-(x^3+x^2+x)+\\+(x^2+x+1)=(x^2+x+1)x^6-(x^2+x+1)x^4+(x^2+x+1)x^3-\\-(x^2+x+1)x+(x^2+x+1)=(x^2+x+1)(x^6-x^4+x^3-x+1)$

Answer 2

Давайте разложим многочлен \(x^8 + x^7 + 1\) на множители.

Сначала рассмотрим степень 2 в этом выражении. Мы видим, что степень 2 отсутствует, и это не квадратный трехчлен.

Теперь рассмотрим степень 1. У нас есть слагаемое \(x^7\), и это может быть разложено как произведение \(x\) и \(x^6\).

Таким образом, наш многочлен может быть записан в виде:

\[x^8 + x^7 + 1 = x^7(x + x^6) + 1.\]

Теперь мы видим, что внутри скобок тоже есть степень 2. Мы можем повторить процесс разложения для \(x + x^6\).

\[x^8 + x^7 + 1 = x^7(x + x^6) + 1 = x^7(x + x^6) + 1.\]

Снова, у нас есть слагаемое \(x^6\), которое можно разложить на \(x\) и \(x^5\).

\[x^7(x + x^6) + 1 = x^7(x + x^6) + 1 = x^7(x + x(x^5)) + 1.\]

Теперь внутри скобок у нас есть \(x + x(x^5) = x + x^6\), и мы видим, что это также можно разложить на \(x\) и \(x^5\).

\[x^7(x + x^6) + 1 = x^7(x + x(x^5)) + 1 = x^7(x + x^6) + 1 = x^7(x + x^6) + 1.\]

Мы видим, что мы приходим к тому же выражению. Таким образом, наш многочлен не разлагается на линейные множители над полем вещественных чисел. Однако, если рассматривать комплексные числа, то он разлагается на множители вида \(x - \alpha\), где \(\alpha\) - корень уравнения \(x^8 + x^7 + 1 = 0\).

Обратите внимание, что множители могут быть сложными, и не всегда легко выразить их в явной форме.