Question

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что AB=CH. Найдите угол ACB. Ответ запишите в градусах.

Answer 1

Обозначим высоты AD, BE, CF AD = AB sin угла ABC CD = CH sin угла DHC угл DHC=90°-угл DCH= угл ABC тогда AD = AB sin угла ABC = CH sin угла DHC = CD ⇒  угл ACB=45° Ответ: Угол ABC при таком условии найти нельзя

Answer 2

Давайте рассмотрим остроугольный треугольник ABC, где высоты пересекаются в точке H, и AB=CH. Обозначим угол ACB как \( \angle ACB \).

Из условия \( AB = CH \) следует, что треугольник ABC является равнобедренным по основанию AB. Таким образом, углы при основании равны: \( \angle A = \angle B \).

Также, так как высоты пересекаются в точке H, у нас есть два прямоугольных треугольника: AHC и BHC. В каждом из этих треугольников угол при вершине H равен 90 градусам.

Теперь мы знаем, что \( \angle A = \angle B \) и \( \angle AHC = \angle BHC = 90^\circ \). Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то угол ACB можно найти следующим образом:

\[ \angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle B \]

Подставим известные значения:

\[ \angle ACB = 180^\circ - \angle A - \angle A \]

Так как \( \angle A = \angle B \), то:

\[ \angle ACB = 180^\circ - 2 \cdot \angle A \]

Теперь мы можем выразить угол ACB в терминах угла A:

\[ \angle ACB = 180^\circ - 2 \cdot \angle A \]

Если углы A и B равны, мы можем записать это как:

\[ \angle ACB = 180^\circ - 2 \cdot \angle B \]

Таким образом, угол ACB равен половине разности 180 градусов и удвоенного угла A (или угла B).