Question

(x-6)(4-3x)/x+4>0 решите неравенство

Answer 1

(x-6)(4-3x)/(x+4)>0

ОдЗ: x ∈(-4;+∞)

 

(x-6)(4-3x)>0

-3(x-6)(x-4/3)>0

(x-6)(x-4/3)<0

 

x∈(4/3;6)

Answer 2

$\frac{(x-6)(4-3x)}{(x+4)}<0\\\\ODZ: x>-4\\\\\frac{(x-6)(x-\frac{4}{3})}{(x+4)}<0\\\frac{4}{3}<x<6\\x<-4< var="">$

Последнее не удовлетворяет ОДЗ. поэтому ответ будет только

$\frac{4}{3}<x<6< var="">$

Answer 3

Чтобы решить данное неравенство \(\frac{(x-6)(4-3x)}{x+4} > 0\), мы можем использовать метод интервалов.

1. Найдем точки, где числитель и знаменатель равны нулю. Эти точки называются точками разрыва.

a. Нулевые точки числителя \((x-6)(4-3x) = 0\):

\(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\)

\(4 - 3x = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{3}\)

b. Нулевые точки знаменателя \(x + 4 = 0\):

\(x = -4\)

Таким образом, у нас есть три точки разрыва: \(x = -4, x = \frac{4}{3}, x = 6\).

2. Теперь выберем тестовые точки в каждом из интервалов, образованных точками разрыва. Такие точки помогут определить знак выражения \(\frac{(x-6)(4-3x)}{x+4}\) на каждом интервале.

a. Выберем точку из интервала \((- \infty, -4)\), например, \(x = -5\).

b. Точка из интервала \((-4, \frac{4}{3})\), например, \(x = 0\).

c. Точка из интервала \((\frac{4}{3}, 6)\), например, \(x = 5\).

d. Точка из интервала \((6, +\infty)\), например, \(x = 7\).

3. Проверим знак выражения \(\frac{(x-6)(4-3x)}{x+4}\) на каждом интервале с использованием выбранных тестовых точек.

a. Для интервала \((- \infty, -4)\): Подставим \(x = -5\):

\(\frac{(-5-6)(4-3(-5))}{-5+4} = \frac{-77}{-1} = 77\)

Знак положителен.

b. Для интервала \((-4, \frac{4}{3})\): Подставим \(x = 0\):

\(\frac{(0-6)(4-3(0))}{0+4} = \frac{-24}{4} = -6\)

Знак отрицателен.

c. Для интервала \((\frac{4}{3}, 6)\): Подставим \(x = 5\):

\(\frac{(5-6)(4-3(5))}{5+4} = \frac{26}{9}\)

Знак положителен.

d. Для интервала \((6, +\infty)\): Подставим \(x = 7\):

\(\frac{(7-6)(4-3(7))}{7+4} = \frac{-74}{11}\)

Знак отрицателен.

4. Теперь соберем результаты и построим окончательное решение:

- На интервале \((- \infty, -4)\) неравенство выполняется (положительное значение). - На интервале \((-4, \frac{4}{3})\) неравенство не выполняется (отрицательное значение). - На интервале \((\frac{4}{3}, 6)\) неравенство выполняется (положительное значение). - На интервале \((6, +\infty)\) неравенство не выполняется (отрицательное значение).

Таким образом, решение данного неравенства:

\[x \in (-\infty, -4) \cup (\frac{4}{3}, 6)\]