Question

Помогите найти промежутки возрастания и убывания функции y=-x(4степени)+8x(2 степени)-16

Answer 1

F(x)=-x^4+8x^2-16
Найдем производную
f'(x)=-(x^4+8x^2-16)'=-4x^3+16x=-4х(x^2-4)
находим точки в которых производная равно нолю
-4х(x^2-4)=0
-4х=0       x^2-4=0
  х=0         x^2=4
                х=+-2
Получили две точки. Эти точки делят координатную ось Ох на етыре промежутка: 1=(-беск; -2), 2=(-2,0), 3=(0,2), 4=(2, беск)
ОБЯЗАТЕЛЬНО НАРИСОВАТЬ НА КАРТИНКЕ ДАННЫЕ ИНТЕРВАЛЫ,И РАССТАВИТЬ ЗНАКИ
определим знаки производной на этих интервалах
1=(-беск; -2),
                -3:  -4(-3)*((-3)^2-4)=12(9-4)=12*5=60      +
2=(-2,0),
               -1:   -4(-1)*((-1)^2-4)=4*(1-4)=4*(-3)=-12    -
3=(0,2)
              1: -4*1(1^2-4)=4*(1-3)=-4*(-2)=8                 +        
4=(2, беск)  
               3:   -4*3*(3^2-4)=-12(9-4)=-12*5=-60        -
Видим, что функция возрастает на промежутках(-беск, -2) и ((0,2), а убывает на промежутках(-2,0) и (2, беск), а точки х=-2 и х=2 точки максимума функции, а точки х=0 точка минимум
Ответ Функция возрастает при хЄ(-беск,-2)и(0,2), функция убывает при хЄ(-2,0) и(2,беск)

Answer 2

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции y = -x^4 + 8x^2 - 16, сначала найдем ее производную.

Для этого применим правило дифференцирования для каждого члена функции по отдельности:

d/dx (-x^4) = -4x^3

d/dx (8x^2) = 16x

d/dx (-16) = 0

Теперь найденные производные помогут нам определить промежутки возрастания и убывания функции.

1. Промежутки возрастания: Производная функции (-4x^3 + 16x) будет положительной на промежутках, где она больше нуля.

-4x^3 + 16x > 0

По факторизации выражения получаем: 4x(-x^2 + 4) > 0

Далее рассмотрим каждый множитель отдельно:

4x > 0: это выполняется при x > 0

-x^2 + 4 > 0: это выполняется при -2 < x < 2

Таким образом, функция возрастает на промежутках (-2, 0) и (0, 2).

2. Промежутки убывания: Производная функции (-4x^3 + 16x) будет отрицательной на промежутках, где она меньше нуля.

-4x^3 + 16x < 0

По факторизации выражения получаем: 4x(-x^2 + 4) < 0

Далее рассмотрим каждый множитель отдельно:

4x < 0: это выполняется при x < 0

-x^2 + 4 < 0: это выполняется при -2 < x < 2

Таким образом, функция убывает на промежутках (-∞, -2) и (2, +∞).

Итак, промежутки возрастания функции y = -x^4 + 8x^2 - 16: (-2, 0) и (0, 2), а промежутки убывания: (-∞, -2) и (2, +∞).