Question

Найти производную функции y=(3/x)+1 в точке x0=-3

Answer 1

У¹=(0*х-3*1)/х²+0=-3/х²
у¹(-3)=-3/(-3)²=-3/9=-1/3

Answer 2

Для того чтобы найти производную функции y = (3/x) + 1 в точке x0 = -3, мы можем использовать правило дифференцирования функции суммы и правило дифференцирования функции частного.

Давайте начнем с выражения функции y = (3/x) + 1. Мы хотим найти производную этой функции.

Производная функции суммы

Правило дифференцирования функции суммы гласит: если у нас есть функция f(x) = g(x) + h(x), то производная этой функции равна сумме производных функций g'(x) и h'(x), то есть f'(x) = g'(x) + h'(x).

В нашем случае, функция y(x) = (3/x) + 1 представляет собой сумму двух функций: f(x) = 3/x и g(x) = 1. Производная функции константы g(x) = 1 равна нулю.

Производная функции частного

Правило дифференцирования функции частного гласит: если у нас есть функция f(x) = g(x) / h(x), то производная этой функции равна (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2.

В нашем случае, функция y(x) = (3/x) + 1 представляет собой частное двух функций: g(x) = 3 и h(x) = x. Производная функции g(x) = 3 равна нулю, а производная функции h(x) = x равна 1.

Вычисление производной функции y(x)

Теперь, используя правила дифференцирования функции суммы и функции частного, мы можем вычислить производную функции y(x) = (3/x) + 1.

y'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2 = (0 * x - 3 * 1) / (x^2) = -3 / (x^2)

Вычисление значения производной в точке x0 = -3

Наконец, чтобы найти значение производной функции в точке x0 = -3, мы подставляем x0 в выражение для производной.

y'(-3) = -3 / ((-3)^2) = -3 / 9 = -1/3

Таким образом, производная функции y(x) = (3/x) + 1 в точке x0 = -3 равна -1/3.