Question

Решите неравенства Х(3х-1)-х^2 - 16 < равно х(2-х) + 2х^2 - 11х

Answer 1

3x^2-x-x^2<= 2x^2-x^2- 11 x
3x^2   -x^2    -2x^2 +x^2   -x  +11x  
x^2=-10x
x<=-10

Answer 2

Давайте начнем с того, что перепишем данное неравенство:

\[x(3x - 1) - x^2 - 16 \leq x(2 - x) + 2x^2 - 11x.\]

Давайте упростим это неравенство, чтобы решить его.

Раскроем скобки слева и справа:

\[3x^2 - x - x^2 - 16 \leq 2x - x^2 + 2x^2 - 11x.\]

Упростим его, объединив подобные члены:

\[2x^2 - x - 16 \leq x^2 - 9x.\]

Теперь приведем все члены к одной стороне неравенства:

\[2x^2 - x - 16 - x^2 + 9x \leq 0.\]

Упростим это уравнение:

\[x^2 + 8x - 16 \leq 0.\]

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 8x - 16 = 0\), чтобы определить интервалы, на которых неравенство будет выполняться.

Сначала найдем корни уравнения:

\[x^2 + 8x - 16 = 0.\]

Для нахождения корней используем квадратное уравнение:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

Здесь \(a = 1\), \(b = 8\) и \(c = -16\). Подставим эти значения в формулу:

\[x = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1}.\]

\[x = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 64}}{2}.\]

\[x = \frac{-8 \pm \sqrt{128}}{2}.\]

\[x = \frac{-8 \pm 8\sqrt{2}}{2}.\]

\[x = -4 \pm 4\sqrt{2}.\]

Теперь у нас есть два корня: \(x = -4 + 4\sqrt{2}\) и \(x = -4 - 4\sqrt{2}\).

Корни делят ось \(x\) на три интервала: \((-\infty, -4 - 4\sqrt{2})\), \((-4 - 4\sqrt{2}, -4 + 4\sqrt{2})\) и \((-4 + 4\sqrt{2}, +\infty)\).

Теперь нужно определить знак выражения \(x^2 + 8x - 16\) на каждом из этих интервалов.

Для этого можно взять по одной точке из каждого интервала и подставить ее в исходное неравенство \(x^2 + 8x - 16 \leq 0\) и проверить знак выражения.

Например, возьмем \(x = -5\), \(x = 0\) и \(x = 1\) и подставим их в \(x^2 + 8x - 16\):

При \(x = -5\): \[(-5)^2 + 8(-5) - 16 = 25 - 40 - 16 = -31 < 0.\]

При \(x = 0\): \[0^2 + 8(0) - 16 = -16 < 0.\]

При \(x = 1\): \[1^2 + 8(1) - 16 = 1 + 8 - 16 = -7 < 0.\]

Таким образом, выражение \(x^2 + 8x - 16\) отрицательно на всех значениях в интервалах \((-4 - 4\sqrt{2}), -4 + 4\sqrt{2})\), значит, исходное неравенство \(x(3x - 1) - x^2 - 16 \leq x(2 - x) + 2x^2 - 11x\) выполняется на этих интервалах.

Таким образом, решение данного неравенства: \(-4 - 4\sqrt{2} \leq x \leq -4 + 4\sqrt{2}\).