Question

Решите пожайлуста неравенство. (1/3)^x ≥ 9; (0,5)^x ≥ -0,5; 3^x+1 <1/27; log_0,3x ≤2; log_3(2x+1)<3

Answer 1

1) 
     $( \frac{1}{3} )^x\geq 9\\ 3^{-x}\geq 3^2$
Поскольку основание 3>1, функция возрастающая, то знак неравенства не меняется
$-x \geq 2\\ x \leq -2$

Ответ: $x \in (-\infty;-2]$

2) $0.5^x\geq -0.5$
Здесь решением неравенства есть любое х, т.к. левая часть неравенства всегда положительная.

3) $3^{x+1}\ \textless \ \frac{1}{27}$
$3^{x+1}\ \textless \ 3^{-3}$
В силу монотонности функции имеем, что $x+1\ \textless \ -3$  откуда  $x\ \textless \ -4$

Ответ: $x \in (-\infty;-4).$

4) $\log_{0.3}x \leq 2$
ОДЗ: $x\ \textgreater \ 0$
$\log_{0.3}x\leq \log_{0.3}0.3^2$
Поскольку основание $0\ \textless \ 0.3\ \textless \ 1$, функция убывающая, то знак неравенства меняется на противоположный
$x\geq 0.6$

Ответ: $[0.6;+\infty)$

5) $\log_3(2x+1)\ \textless \ 3\\ \log_3(2x+1)\ \textless \ \log_327$
ОДЗ: $2x+1\ \textgreater \ 0;~~~~\Rightarrow~~~~ x\ \textgreater \ -0.5$
Поскольку основание 3>1, функция возрастающая, то знак неравенства сохраняется.
$2x+1\ \textless \ 27\\ 2x\ \textless \ 26\\ x\ \textless \ 13$

И с учетом ОДЗ: $x \in (-0.5;13)$ - ОТВЕТ

Answer 2

Давайте решим неравенства по очереди.

Решение неравенства (1/3)^x ≥ 9:

Для начала возьмем логарифм от обеих частей неравенства по основанию 1/3:

log((1/3)^x) ≥ log(9)

Теперь воспользуемся свойством логарифма log(a^b) = b * log(a):

x * log(1/3) ≥ log(9)

Для простоты решения, заменим log(1/3) на переменную, например, y:

x * y ≥ log(9)

Теперь разделим обе части неравенства на y (при условии, что y ≠ 0):

x ≥ log(9) / y

Так как мы не знаем точное значение y, мы не можем вычислить точное значение x. Однако мы можем сделать вывод, что x должно быть больше или равно частному log(9) / y. Если мы узнаем значение y, мы сможем вычислить конкретное значение x.

Решение неравенства (0,5)^x ≥ -0,5:

Здесь неравенство (0,5)^x ≥ -0,5 не имеет смысла, так как нельзя возвести положительное число в любую степень и получить отрицательное значение. Поэтому данное неравенство не имеет решений.

Решение неравенства 3^x+1 < 1/27:

Для начала упростим неравенство, приведя обе части к общему знаменателю:

3^x * 3^1 < 1/3^3

Упрощаем:

3^(x+1) < 1/27

Теперь возьмем логарифм от обеих частей неравенства по основанию 3:

log(3^(x+1)) < log(1/27)

(x+1) * log(3) < log(1/27)

(x+1) * log(3) < log(1) - log(27)

(x+1) * log(3) < 0 - log(3^3)

(x+1) * log(3) < 0 - 3 * log(3)

(x+1) * log(3) < - 3 * log(3)

Теперь делим обе части неравенства на log(3) (при условии, что log(3) ≠ 0):

x+1 < -3

x < -4

Таким образом, решением неравенства 3^x+1 < 1/27 является любое число x, которое меньше -4.

Решение неравенства log_0,3x ≤ 2:

Здесь имеется ошибка в записи неравенства. Натуральный логарифм (log) определен только для положительных чисел, поэтому нельзя брать логарифм отрицательного числа или нуля. Пожалуйста, предоставьте правильное неравенство, чтобы я мог помочь вам с его решением.

Решение неравенства log_3(2x+1) < 3:

Возьмем экспоненту от обеих частей неравенства по основанию 3:

3^(log_3(2x+1)) < 3^3

2x+1 < 27

2x < 27 - 1

2x < 26

x < 13

Таким образом, решением неравенства log_3(2x+1) < 3 является любое число x, которое меньше 13.

Пожалуйста, обратите внимание, что решение неравенств может быть сложным и требовать дополнительных действий, таких как использование свойств логарифмов или экспонент. Если у вас возникнут дополнительные вопросы или вы хотите уточнить что-то, пожалуйста, дайте мне знать.