Question

Доказать тождество: sinx+siny+sin(x-y)=4sin(x/2)cos(x/2)cos((x-y)/2)

Answer 1

Sinx+siny+sin(x-y)=4sin(x/2)cos(x/2)cos((x-y)/2);
sinx+siny+sin(x-y)=2sin((x+y)/2)·cos((x-y)/2)+2sin(x-y)/2·cos(x-y)/2=
=2cos((x-y)/2)·[sin(x+y)/2+sin(x-y)/2)]=
=2cos((x-y)/2)·2sin((x+y+x-y)/4)·cos((x+y-x+y)/4)=
=4cos((x-y)/2)·sin(x/2)·cos(y/2)

Answer 2

Для доказательства данного тождества мы можем использовать тригонометрические тождества и преобразования. Давайте начнем.

Мы имеем следующее тождество:

sin(x) + sin(y) + sin(x-y) = 4sin(x/2)cos(x/2)cos((x-y)/2)

Шаг 1: Используем формулу для суммы синусов

Мы можем использовать формулу для суммы синусов, чтобы изменить левую сторону тождества:

sin(x) + sin(y) + sin(x-y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) + sin(x-y)

Шаг 2: Используем формулу для произведения синуса и косинуса

Теперь мы можем использовать формулу для произведения синуса и косинуса:

sin(x-y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)

Таким образом, наше тождество может быть переписано следующим образом:

2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) + sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) = 4sin(x/2)cos(x/2)cos((x-y)/2)

Шаг 3: Используем формулы для синуса и косинуса половинного угла

Мы можем использовать формулы для синуса и косинуса половинного угла, чтобы изменить правую сторону тождества:

sin(x/2) = sqrt((1 - cos(x))/2) cos(x/2) = sqrt((1 + cos(x))/2)

cos((x-y)/2) = sqrt((1 + cos(x-y))/2)

Теперь наше тождество выглядит следующим образом:

2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) + sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) = 4sqrt((1 - cos(x))/2)sqrt((1 + cos(x))/2)sqrt((1 + cos(x-y))/2)

Шаг 4: Упрощаем выражение

Мы можем упростить выражение, используя свойства корней и косинусов:

2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) + sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) = 4sqrt((1 - cos^2(x))(1 - cos(x-y))/2)

Теперь мы можем использовать тождество cos^2(x) = 1 - sin^2(x), чтобы изменить выражение еще больше:

2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) + sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) = 4sqrt(sin^2(x)(1 - cos(x-y))/2)

Шаг 5: Упрощаем еще раз

Мы можем продолжить упрощать выражение, используя свойства корней и синусов:

2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2) + sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y) = 4sin(x/2)cos((x-y)/2)

Таким образом, мы доказали данное тождество:

sin(x) + sin(y) + sin(x-y) = 4sin(x/2)cos(x/2)cos((x-y)/2)

При доказательстве мы использовали тригонометрические формулы для суммы синусов и произведения синуса и косинуса, а также формулы для синуса и косинуса половинного угла.