Question

Lim x->0 (sin3x+Sinx)/2x

Answer 1

1. Преобразуем числитель по формуле сумма синусов: 
sin(3x) + sin(x)=2 * sin(2x) * cos(x) = ...
2. sin(2x) распишем как синус двойного угла: 
... = 2 * 2 * sin(x) * cos(x) * cos(x) = 4 * sin(x) * cos^2(x)
3. Возвращаемся к пределу. Переписываем числитель в преобразованном виде и сокращаем числитель и знаменатель на 2:
lim(x->0)(4 * sin(x) * cos^2(x)/2x) = lim(x->0)(2 * sin(x) * cos^2(x)/x)
4. По основному тригонометрическому тождеству запишем cos^2(x) как 1-sin^2(x)
5. Так как х->0, то произведём эквивалентности: sin(x)~x, sin^2(x)~x^2, затем подставим их в предел и сократим на х:
lim(x->0)(2x(1-x^2)/x)=lim(x->0)(2-2x^2)
6. Вычисляем предел, полагая х=0:
lim(x->0)(2-2x^2)=lim(x->0)(2-2* 0^2)=lim(x->0)(2-0)=2

Ответ: 2.

Answer 2

Чтобы решить данное уравнение, мы можем воспользоваться правилом Лопиталя, которое позволяет нам вычислять пределы функций, когда их отношение имеет вид 0/0 или ∞/∞.

Применяя правило Лопиталя, мы можем найти предел функции (sin(3x) + sin(x))/(2x) при x -> 0.

Сначала вычислим производную числителя и знаменателя:

f(x) = sin(3x) + sin(x) f'(x) = 3cos(3x) + cos(x)

g(x) = 2x g'(x) = 2

Затем найдем предел отношения производных при x -> 0:

lim(x->0) f'(x)/g'(x) = lim(x->0) (3cos(3x) + cos(x))/2 = (3cos(0) + cos(0))/2 = (3 + 1)/2 = 4/2 = 2

Таким образом, предел функции (sin(3x) + sin(x))/(2x) при x -> 0 равен 2.