Question

5-4 cos2 x = 5 sin2 x

Answer 1

5 - (4 - 8sin²x) = 10sinxcosx
1 + 8sin²x = 10sinxcosx
9sin²x + cos²x - 10sinxcosx = 0
9tg²x - 10tgx + 1 = 0
Пусть t = tgx.
9t² - 10t + 1 = 0
D = 100 - 36 = 64 = 8²
t1 = (10 + 8)/18 = 1
t2 = (10 - 8)/18 = 2/18 = 1/9.
Обратная замена:
tgx = 1
x = π/4 + 2πn, n ∈ Z.
tgx = 1/9
x = arctg(1/9) + πn, n ∈ Z.

Answer 2

Давайте посмотрим на уравнение: \(5 - 4 \cos^2(x) = 5 + \sin^2(x)\).

Первым шагом давайте выразим \(\cos^2(x)\) через \(\sin^2(x)\), используя тождество \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\):

\[5 - 4(1 - \sin^2(x)) = 5 + \sin^2(x)\]

Теперь раскроем скобки и упростим:

\[5 - 4 + 4\sin^2(x) = 5 + \sin^2(x)\]

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

\[4\sin^2(x) - \sin^2(x) = 5 + 4 - 5\]

Сгруппируем члены:

\[3\sin^2(x) = 4\]

Теперь разделим обе стороны на 3:

\[\sin^2(x) = \frac{4}{3}\]

Теперь найдем значение \(\sin(x)\). Исходя из того, что \(\sin^2(x) = \frac{4}{3}\), возможны два случая:

1. \(\sin(x) = \sqrt{\frac{4}{3}}\) 2. \(\sin(x) = -\sqrt{\frac{4}{3}}\)

Однако второй случай невозможен, так как значение синуса не может быть отрицательным при действительных углах. Таким образом, остается только первый случай:

\[\sin(x) = \sqrt{\frac{4}{3}}\]

Однако, стоит отметить, что \(\frac{4}{3}\) больше 1, и значит, уравнение не имеет решений в действительных числах. Вероятно, была допущена ошибка при записи или передаче уравнения.