Question

Log3x*log9x*log27x*log81x=2/3

Answer 1

Всё подробно написала в решении.

Answer 2

Давайте решим уравнение \(\log_3 x \cdot \log_9 x \cdot \log_{27} x \cdot \log_{81} x = \frac{2}{3}\).

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами логарифмов. Заметим, что \(\log_9 x = \frac{1}{2} \cdot \log_3 x\) (по свойству логарифма: \(\log_a b^n = n \cdot \log_a b\)). Аналогично, \(\log_{27} x = \frac{1}{3} \cdot \log_3 x\) и \(\log_{81} x = \frac{1}{4} \cdot \log_3 x\).

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

\(\log_3 x \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \log_3 x\right) \cdot \left(\frac{1}{3} \cdot \log_3 x\right) \cdot \left(\frac{1}{4} \cdot \log_3 x\right) = \frac{2}{3}\).

Умножим числители и знаменатели:

\(\frac{1}{24} \cdot (\log_3 x)^4 = \frac{2}{3}\).

Умножим обе стороны уравнения на 24, чтобы избавиться от дроби:

\((\log_3 x)^4 = 16\).

Теперь избавимся от степени 4, взяв четвертый корень от обеих сторон:

\(\log_3 x = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2\).

Теперь, чтобы избавиться от логарифма, возведем обе стороны уравнения в степень 3:

\(3^{\log_3 x} = 3^2\).

Это приведет к тому, что \(x = 9\).

Таким образом, решение уравнения \(\log_3 x \cdot \log_9 x \cdot \log_{27} x \cdot \log_{81} x = \frac{2}{3}\) - это \(x = 9\).