Question

помогите решить неопределенный интеграл x/sqtr (1-3x^2-2x^4)dx

Answer 1

Неопределенный интергал x/sqrt (1-3x^2-2x^4)  равен:

 

-  sin^(-1) * ((-4*x^2-3)/корень из семнадцати) / два корня из двух  +  const

 - sin^(-1) * ((-4*x^2-3)/корень из семнадцати) - числитель окончательной дроби

два корня из двух - знаменатель окончательной дроби

Answer 2

Для решения данного неопределенного интеграла, мы можем использовать метод частных дробей и замену переменной. Давайте разберемся подробнее.

Шаг 1: Факторизация

Сначала нам нужно разложить знаменатель под интегралом на простые множители. Для этого факторизуем выражение 1-3x^2-2x^4:

1 - 3x^2 - 2x^4 = (1 + x)(1 - x)(1 + 2x^2)

Шаг 2: Разложение на простые дроби

Теперь мы можем разложить исходную функцию в сумму простых дробей:

x/sqrt(1-3x^2-2x^4) = A/(1 + x) + B/(1 - x) + (Cx + D)/(1 + 2x^2)

Шаг 3: Нахождение коэффициентов

Следующий шаг - найти значения коэффициентов A, B, C и D. Для этого мы можем сложить дроби с общим знаменателем:

x = A(1 - x)(1 + 2x^2) + B(1 + x)(1 + 2x^2) + (Cx + D)(1 + x)(1 - x)

Теперь мы можем раскрыть скобки и собрать коэффициенты при одинаковых степенях x:

x = (A + B + C)x^3 + (A - B + D)x^2 + (-A + B + C + D)x + (A + B)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений:

1) A + B + C = 0 2) A - B + D = 0 3) -A + B + C + D = 0 4) A + B = 1

Решая эту систему уравнений, мы найдем значения коэффициентов:

A = 1/4 B = 3/4 C = -1/2 D = -1/2

Шаг 4: Замена переменной

Теперь мы можем заменить исходную переменную на новую переменную, чтобы упростить интеграл. Положим 1 + 2x^2 = t, тогда x = sqrt((t-1)/2) и dx = (1/2) * sqrt((t-1)/2) dt.

Шаг 5: Замена переменных в интеграле

Подставим новые значения переменных в исходный интеграл:

∫(x/sqrt(1-3x^2-2x^4))dx = ∫((1/4)/(1 + x) + (3/4)/(1 - x) + (-1/2)(Cx + D)/(1 + 2x^2))dx

= ∫((1/4)/(1 + sqrt((t-1)/2)) + (3/4)/(1 - sqrt((t-1)/2)) + (-1/2)(Cx + D)) * (1/2) * sqrt((t-1)/2) dt

Упрощая выражение, получаем:

= (1/8) * ∫((1/1 + sqrt((t-1)/2)) + (3/1 - sqrt((t-1)/2)) - (Cx + D)) * sqrt((t-1)/2) dt

Шаг 6: Интегрирование

Теперь мы можем проинтегрировать каждую дробь по отдельности, используя простые правила интегрирования. Затем объединим полученные результаты.

Итак, после расчетов мы получаем:

∫((1/1 + sqrt((t-1)/2)) + (3/1 - sqrt((t-1)/2)) - (Cx + D)) * sqrt((t-1)/2) dt = (1/8) * (2sqrt((t-1)/2) + 2ln|1 + sqrt((t-1)/2)| - 2sqrt((t-1)/2) - 2ln|1 - sqrt((t-1)/2)| - (1/2) * (Cx^2 + Dx) + constant)

Итак, окончательный результат:

∫(x/sqrt(1-3x^2-2x^4))dx = (1/8) * (2sqrt((t-1)/2) + 2ln|1 + sqrt((t-1)/2)| - 2sqrt((t-1)/2) - 2ln|1 - sqrt((t-1)/2)| - (1/2) * (Cx^2 + Dx) + constant), где x = sqrt((t-1)/2) и t = 1 + 2x^2.

Это детальное решение неопределенного интеграла x/sqrt(1-3x^2-2x^4).