Question

Исследоват функциюна экстпемум.y=1/3xкуб -5/2хк кв-14/х+1

Answer 1

Y'=x²-5x²-14=0   x1=7 x2=-2 Виетт
y'=(x-7)(x+2)

-------- -2 ------------- 7---------→x
   +                  -                 +

x=-2 max    x=7   min

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, нам нужно проанализировать ее производные и найти точки, где эти производные равны нулю или не существуют. Давайте начнем с исходной функции:

y = (1/3)x^3 - (5/2)x^2 + kx - 14/x + 1

1. Найдем первую производную функции:

Для этого возьмем производную каждого члена по отдельности и объединим их:

y' = d/dx[(1/3)x^3] - d/dx[(5/2)x^2] + d/dx[kx] - d/dx[14/x] + d/dx[1]

y' = x^2 - 5x + k + 14/x^2

2. Найдем вторую производную функции:

Возьмем производную от первой производной:

y'' = d/dx[x^2 - 5x + k + 14/x^2]

y'' = 2x + 10/x^3

3. Найдем точки, где первая производная равна нулю:

Чтобы найти точки экстремума функции, мы приравниваем первую производную к нулю и решаем уравнение:

x^2 - 5x + k + 14/x^2 = 0

4. Найдем точки, где вторая производная не существует:

Функция не определена при x = 0, поэтому вторая производная не существует в этой точке.

5. Найдем точки, где вторая производная равна нулю:

Чтобы найти такие точки, мы приравниваем вторую производную к нулю и решаем уравнение:

2x + 10/x^3 = 0

6. Анализируем найденные точки:

- Решим уравнение из пункта 3. Это кубическое уравнение, и его решение может быть сложным. Однако, если предположить, что k = 0, мы можем упростить его и найти решения. Мы также можем использовать график функции, чтобы приблизительно найти точки экстремума. - Так как вторая производная не существует при x = 0 и мы предполагаем, что k = 0, то x = 0 не является точкой экстремума. - Решим уравнение из пункта 5. Оно является кубическим уравнением, и его решение может быть сложным. Мы также можем использовать график функции, чтобы приблизительно найти точки, где вторая производная равна нулю. Эти точки могут быть точками перегиба функции.

7. Применение теоремы Ферма:

Если найдем значения x, где первая производная не существует, то можем применить теорему Ферма для исследования этих точек. Однако, в нашей функции первая производная существует во всех точках, кроме x = 0.

8. Итоговый анализ:

Анализируя найденные точки экстремума и точки перегиба, а также график функции, мы можем определить, где функция достигает максимума или минимума, а также где происходят изменения выпуклости и вогнутости функции. Однако, без конкретных значений для k, мы не можем дать точные ответы на эти вопросы.

Пожалуйста, предоставьте конкретное значение для k, и я смогу дать более точный анализ функции и ее экстремумов.